2022-2023学年河南省高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省高一上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．满足，且中的集合M的个数是（    ）A．16 B．24 C．28 D．30【答案】B【分析】讨论元素与集合的关系，结合元素1、2、3与集合的可能情况求集合的个数.【详解】若时，则1、2、3可能属于，而5不属于，故集合共有种可能；若时，则1、2、3可能属于，而4不属于，故集合共有种可能；若时，则1、2、3可能属于，故集合共有种可能；综上，集合M的个数是24.故选：B2．集合或，若，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．3．已知，，且，则的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C4．已知不等式的解集是则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的解集可得对应方程的解，从而可求出的值，再解不含参数的一元二次不等式即可得解．【详解】∵不等式的解集是，∴是方程的两根，∴，解得.∴不等式为，解得，∴不等式的解集为.故选：A.5．设，则的值是（    ）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【分析】由分段函数解析式，结合有，即周期为2，得即可求值.【详解】由题设，.故选：A6．已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求最值即得.【详解】解法一：若，恒有，只需，设函数在上的最小值为，则（1）当，即时，，即，所以；（2）当，即时，，即，所以此时不满足题意；（3）当，即时，，所以，即，得，则.综上，实数的取值范围为.故选：B.解法二：若，恒有，即对任意恒成立，所以对任意的恒成立，而，当且仅当，即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.故选：B.7．若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意条件和，可对此式子赋值验证选项，即可完成求解.【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且，对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；对于选项C，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C选项是错误的；对于选项D，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以D选项是正确的.故选：C.8．已知函数，若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用函数的解析式判断出函数关于点对称，从而将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性去掉“”，从而得到对任意恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到的最小值．【详解】因为函数，所以，则函数关于点对称，所以，故对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，则函数在上单调递增，所以对任意恒成立，令，则，所以对任意恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，则实数的最小值为．故选：．【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 二、多选题9．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ）A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件【答案】CD【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出，当时，推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误;对于B，如，但，所以推不出，如，但，所以推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误;因为若则一定成立，但若则不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确;由得，，由可推出，不能推出，所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件，故D正确;故选:CD.10．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABC【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.【详解】由开口向上且对称轴为，∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，∴的可能值A、B、C.符合.故选：ABC.11．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）A．当时，B．函数的最小值为C．函数在上单调递减D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】ABD【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：，其图象如图所示：由图象知：当时，，故A正确；函数的最小值为，故正确；函数在上单调递增，故错误；方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；故选：ABD12．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（    ）A．浮萍每月的增长率为3B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积超过D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则【答案】CD【分析】先根据图象，代入点，求出函数解析式，进而求出前3个月的浮萍面积，判断出AB选项，计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；解出，从而得到，D正确.【详解】由图可知，函数过点，将其代入解析式，，故，A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3，9，27，故增长率逐月增大，A错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；第4个月的浮萍面积为81，超过了80，C正确；令，，，解得：，，D正确.故选：CD 三、填空题13．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合为集合的真子集，故只需.故答案为：.14．函数的定义域是__________.【答案】【分析】直接列不等式即可求得.【详解】要使函数有意义，只需，解得：所以函数的定义域是.故答案为：15．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．【详解】y=x和y=的图象如图所示：∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，故当或时，函数在上不是增函数．故答案为：-2．16．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________【答案】10【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：，当工厂日获利不少于1 000元时，即，即，解得：.故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.故答案为：10 四、解答题17．计算(1)(2)化简．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐步计算即可；（2）将根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则化简即可.【详解】（1）原式（2）原式=18．已知全集，集合．(1)若且，求实数的值；(2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先化简集合，得到，根据可得到的值，并用进行检验即可；（2）分和两种情况进行分类讨论，即可得到答案【详解】（1）由题意，，所以，若，则或，解得或，又，所以；（2）因为，当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意；当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意，综上所述，19．已知函数(1)用定义法证明函数在上单调递减(2)求时，函数的值域【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差，可得答案；（2）由（1）的单调性，求其最值，可得答案.【详解】（1）任意取，设，则，由，，则，，，即，故，所以函数在上单调递减.（2）由（1）可知：函数在上单调递减，，，故.因此当时，函数的值域为.20．设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值．【答案】（1）增函数，；（2）．【分析】（1）由，求得，得到，根据，求得，即可求得函数是增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和，求得，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即当时，函数，满足，所以，由，可得且，解得，所以是增函数，又由，可得，所以，解得，即不等式的解集是．（2）由（1）知，，因为，即，解得，故，令，则在上是增函数，故，即，此时函数的对称轴为，且开口向上，所以当，函数取得最小值，最小值为，即函数的最小值为．21．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；（2）如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？【答案】(1)88.5万元 (2) 该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.【分析】（1）先确定甲乙合作社投入量，再分别代入对应收益函数，最后求和得结果，（2）先根据甲收益函数，分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值取法，最后比较大小确定最大值.【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：（万元）（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，当时，则，.令，得，则总收益为，显然当时，函数取得最大值，即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、当时，则，则，则在上单调递减，.即此时甲、乙总收益小于87万元.又，∴该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.【点睛】本题考查利用分段函数模型求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.22．已知函数为奇函数．(1)求实数m的值；(2)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；(3)解关于的不等式．【答案】(1)；(2)函数在R上单调递减；证明见解析；(3). 【分析】（1）根据奇函数的定义即得；（2）根据函数单调性的定义证明即得；（3）根据函数的单调性及奇偶性可得，进而即得.【详解】（1）函数的定义域为R，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以；（2）函数在R上单调递减；下面用单调性定义证明：任取，，且，则，因为在R上单调递增，且，所以，又，所以，所以函数在R上单调递减；（3）因为为奇函数，所以，由得，，即，由（2）可知，函数在R上单调递减，所以，即，解得或，所以t的取值范围为．