2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集运算即可得到答案

【详解】解：因为，

所以，

故选：D

2．设命题，则为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

3．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数解析式，列不等式组求解即可.

【详解】根据题意可得，所以.

故选：C.

4．已知，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】，

当且仅当，即时取等号.

所以的最大值为.

故选：C

5．已知集合且，则的非空真子集的个数为（    ）

A．14 B．15 C．30 D．31

【答案】A

【分析】根据集合的定义，结合正整数集与真子集的定义求解即可

【详解】解：因为且，

则该集合的非空真子集个数为个，

故选：A

6．对，记，则函数的最大值为（    ）

A．0 B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】根据题意求出函数，并作出函数的图象，进而求出函数的最大值.

【详解】根据题意，若，若，

则，作出函数的图象，如图：

由图可知x=1时函数有最大值1.

故选：C.

7．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）

A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能

【答案】A

【分析】根据杠杆原理以及基本不等式即可求解.

【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为

由杠杠平衡原理可得，，所以，这样可知称出的黄金大于.

故选:A

8．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据条件求解出，然后根据不等式恒成立得到，由此求解出的取值范围.

【详解】，，即

即，解得：或（舍去）

即，当且仅当时，等号成立，所以，

因为不等式恒成立，，

即，解得：，

所以实数的取值范围是

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

二、多选题

9．设，则的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据集合与充分，必要条件的关系判断选项.

【详解】根据集合与充分，必要条件的关系可知，的一个必要不充分条件表示的集合需真包含，根据选项可知，BC成立.

故选：BC

10．若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若a，，则

C．若，，则

D．若，则

【答案】ABC

【分析】AB选项，作差法比较大小；C选项，利用不等式的基本性质求解；D选项，举出反例.

【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确；

对于B，，故，B正确；

对于C，若，，则，即，故C正确；

对于D，当，时，满足，但，故D不正确．

故选：ABC．

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域可以是空集

B．函数图像与直线最多有一个交点

C．与是同一函数

D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据函数的定义即可判断A；

根据函数的定义分不是函数定义域内的值和是函数定义域内的值两种情况讨论即可判断B；

根据相等函数的定义即可判断C；

根据分段函数的解析式求出即可判断D.

【详解】解：对于A，函数的定义域为非空数集，故A错误；

对于B，若不是函数定义域内的值，则函数图像与直线没有交点，若是函数定义域内的值，由函数的定义可知函数图像与直线最多有一个交点，所以函数图像与直线最多有一个交点，故B正确；

对于C，与的定义域都是，对应关系相同，所以是同一函数，故C正确；

对于D，由，则，故D正确.

故选：BCD．

12．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ）

A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1

C．若，则 D．若n=1，则

【答案】BC

【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可

【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.

∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；

同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .

对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；

对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；

对于C: 若，有，解得：，故C正确；

对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.

故选：BC

【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.

三、填空题

13．已知，则实数x的值为_______.

【答案】

【解析】根据集合元素与集合的关系确定x的值，注意集合元素的互异性.

【详解】，，解得或

当时，集合为不成立；

当时，集合为满足条件；

当时，集合为不成立.

综上所述，.

故答案为：

【点睛】本题考查根据集合元素与集合的关系确定参数，解题时注意对元素的互异性进行验证，属于基础题.

14．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．

【答案】2

【分析】由点知,再由点可得.

【详解】由图可知.

【点睛】本题解题关键在能结合图象中的点的坐标弄清楚数之间的对应关系.

15．若，则函数的值域为___________.

【答案】

【解析】利用换元法求解，令（），则，然后利用二次函数的性质可求得结果

【详解】解：令（），则，

所以，

因为抛物线开口向下，，

所以当时，取得最在值，

所以函数的值域为，

故答案为：

16．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数取值范围是______．

【答案】

【分析】求出给定函数的定义域，求出函数在上的取值集合，再分段讨论列出不等式求解作答.

【详解】依题意，函数的定义域为，

因函数在上单调递增，因此函数在上的取值集合为，

而函数的定义域和值域的交集为空集，则，

当时，，此时的定义域和值域的交集不为空集，因此，

函数在上单调递减，此时，

由的定义域和值域的交集为空集，得，解得或，于是得，

所以正数取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数是二次函数，，．

(1)求的解析式；

(2)解不等式．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;

(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.

【详解】(1)由，知此二次函数图象的对称轴为，

又因为，所以是的顶点，    

所以设                          

因为，即                   

所以得                                     

所以

(2)因为所以

化为，即或

不等式的解集为

18．已知集合，或，，其中．

(1)求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据交集的定义计算；

（2）求出，由得，根据集合的包含关系可得结论．

【详解】(1)因为，或，

所以．

(2)由题意，得或．

因为，所以．

因为，所以，所以，解得，

所以实数m的取值范围是．

19．求函数解析式：

(1)若 ，求；

(2)若 ，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用换元法即可；

（2）根据条件列方程即可.

【详解】(1)令，则，

∴，即；

(2)由题设，，

， 得：

，

∴，则；

综上，（1），（2）.

20．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为150万吨，最多为300万吨，月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一万吨污水产生的收益为万元.

(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？

(2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.

【答案】(1)该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低

(2)该污水处理厂每月能获利，且当月处理量为250万吨时，利润最大，为万元

【分析】（1）利用基本不等式求最值；

（2）利用二次函数的性质求得最大值.

【详解】(1)由题意可知，每万吨污水的处理成本为：

，

当且仅当时等号成立，

故该厂每月污水处理量为200万吨时，才能使每万吨的处理成本最低.

(2)设该厂每月获利为万元，则

，

，

当时，有最大值，

故该污水处理厂每月能获利，且当月处理量为250万吨时，利润最大，为万元.

21．已知关于x的不等式的解集为或．

(1)求a，b的值．

(2)当时，解关于x的不等式．

【答案】(1).

(2)时，不等式的解集为：；

时，不等式的解集为：，

时，不等式的解集为：.

【分析】（1）结合根与系数关系可直接求解；

（2）将a，b代入不等式化简得，

分类讨论参数与2的关系即可求解.

【详解】(1)因为的解集为或，

所以，解得

(2)因为的解集为或，

所以，解得,

代入得：，即，

所以当时，不等式的解集为：，

当 时，不等式的解集为：，

当时，不等式的解集为：.

22．已知二次函数.

(1)若的解集为，求不等式的解集；

(2)若对任意，恒成立，求的最大值；

(3)若对任意，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;

（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；

（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.

【详解】(1)因为的解集（1，2），

所有的根为1和2，且.

所以，，故，，

所以，即，，

所以，即不等式的解集为.

(2)因为对任意，恒成立，所以，即，

又，所以，故，

所以，

当，时取“=”，

所以的最大值为1.

(3)令，则，所以，

对任意，，恒成立，

所以恒成立，

所以，

所以，此时，

，

当，，时取“=”，

此时成立；

故的最大值为.