2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集定义可得.

【详解】由交集定义可知，.

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据“全称量词命题的否定是存在量词命题”进行否定.

【详解】对于全称量词命题“，”，其否定为存在量词命题“，”，

因此，命题“，”的否定为“，”，

故选：C.

3．已知，且，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】令，解得，再根据求解.

【详解】解：因为，且，

令，解得，

所以，

解得，

故选：A

4．已知，a，b，，则下列不等式成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用举实例判断ABC，根据不等式性质可判断D．

【详解】对于A，当，时，满足，但， 所以A错误，

对于B，当，时，满足，但，所以B错误，

对于C，当，时，满足，但， 所以C错误，

对于D，因为时，又，则成立，所以D正确，

故选：D．

5．已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解出集合，分、两种情况讨论，在时，直接验证；在时，可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.综合可得出结果.

【详解】因为，

当时，，合乎题意；

当时，则，可得或，解得或.

综上所述，实数的取值集合为.

故选：A.

6．已知正实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】使用基本不等式，将“1”进行代换求解，求解时需注意基本不等式取等条件.

【详解】由已知，

∵，，

∴，，

∴，当且仅当，即且时取等号，

∴，

即当且仅当且时，的最小值为.

故选：D.

7．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.

【详解】因为，定义域为R

所以该函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，因此排除B、D，

又因为当时，，所以排除A，

故选：C

8．已知函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由单调性的定义可知函数在上单调递增，对分类讨论即可求解.

【详解】由且得：，

构造函数，即有，

由单调性的定义可知：在上单调递增，

①当时，，满足在上单调递增；

②当时，二次函数的对称轴为，

所以函数在上单调递增，满足题意，

③当时，要使在上单调递增，则有，

解得：.

综上：.

故选：B

二、多选题

9．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先根据“，”为真解出a的取出范围，进而得到答案.

【详解】若命题“，”是真命题，

则，即，

对比选项，、均为的一个充分不必要条件.

故选：BC.

10．下列各组函数中表示同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BD

【分析】选项BD，两个函数的定义域和对应关系相同，两个函数是同一函数；选项AC，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数.

【详解】当两个函数的定义域和对应关系相同时，两个函数就是同一函数.

A. ，，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；

B. ，，两个函数的定义域都是，对应关系相同，所以两个函数是同一函数；

C. ，，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；

D. ，，两个函数的定义域都是，对应关系相同，所以两个函数是同一函数.

故选：BD

11．下列各结论中正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．函数的最小值为4

C．命题“，”的否定是“，”

D．若函数有正值，则实数的取值范围是或

【答案】ACD

【分析】对于A，利用不等式性质判断即可；对于B，利用对勾函数的性质计算判断；

对于C，利用全称量词命题的否定即可判断；对于D，利用二次函数的性质计算判断作答.

【详解】对于A，由不等式性质有：，A正确；

对于B，令，而函数在上单调递增，则，

即函数的最小值为，B不正确；

对于C，因“，”是全称命题，它的否定是“，”，C正确；

对于D，二次函数有正值，则，解得或，D正确.

故选：ACD

12．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值可以是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【分析】首先根据题意，函数在R上单调递增，则每一段函数都要在定义域内递增，再结合分段函数在这个点处要有大小，即可解出的范围.

【详解】由题意可知，在上递增，则，即.

在上递增，则.又，则.

综上，，根据选项只有CD符合.

故选：CD

三、填空题

13．已知，若，则实数的值是______．

【答案】

【分析】利用元素和集合的关系，以及集合的互异性可求解．

【详解】，或，

当时，，则，不满足集合的互异性，舍去．

当时，解得：，（舍去），此时符合题意．

故答案为：

14．已知函数是幂函数，则实数m的取值为______．

【答案】或

【分析】根据幂函数的定义，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，可得，即，解得或，

代入，则可得或，符合题意.

故答案为：或.

15．定义在R上的奇函数对任意满足，且，则______．

【答案】

【分析】根据函数的周期性及其奇偶性求解函数值即可

【详解】，函数的周期.

，

又为奇函数，

.

故答案为：

16．函数，，对，，使，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】求出函数的值域列出关于的不等式即可.

【详解】，，，

由题意可知：，所以，又因为

所以， a的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知集合或，，．

(1)求，；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接根据交并补的定义求解即可；

（2）根据，得到，再讨论集合即可求解结论.

【详解】（1）集合或，，

，

，

（2），，由，得到，

当时，，即；

当时，，即．

综上：或．

实数m的取值范围

18．已知，．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】或

【分析】解出中的不等式，分、、三种情况讨论，解出中的不等式，根据题意可得出集合的包含关系，综合可得出实数的取值范围.

【详解】解：解不等式，即，解得.

不等式即为.

①当时，不等式的解集为，不合乎题意；

②当时，不等式的解集为，

因为是的充分不必要条件，则，

所以，，解得，

且当时，，合乎题意，此时；

③当时，不等式的解集为，

因为是的充分不必要条件，则，

所以，，解得，

且当时，，合乎题意，此时.

综上所述，实数的取值范围是或.

19．已知二次函数的最大值为2，且.

(1)求的解析式；

(2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由题可设二次函数的顶点式方程，根据即可求出所设解析式的参数；

(2)求出二次函数的对称轴，根据题意可得不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）∵二次函数的最大值为2，且，

∴对称轴方程为，

设，

∵，

∴，

∴.

（2）要使在区间上不单调，

则，解得，

故实数m的取值范围为.

20．已知函数，且，．

(1)求、的值；

(2)试判断函数在上的单调性，并证明；

(3)求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)，

(2)函数在上为减函数，证明见解析

(3)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数、的方程组，即可得解；

（2）根据反比例函数的单调性可得出函数在上的单调性，然后任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（3）根据函数在上的单调性可求得在上的最大值和最小值．

【详解】（1）解：由已知可得，解得.

（2）解：由（1）可知，，函数在上为减函数，证明如下：

任取、且，则，，，

，，

所以，函数在上为减函数.

（3）解：由（2）可知，函数在上为减函数，

当时，，.

故函数在上的最大值为，最小值为.

21．如图，设矩形的周长为8，将△沿AC向△折叠，AB折过去后交DC于点P，设，求面积的最大值及相应x的值.

【答案】时，最大值为.

【分析】根据题意，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果.

【详解】由题意，矩形的周长为8，且，

∴，则，∴，

又由，

在中，，

解得，

∴

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴面积的最大值为，此时.

22．已知．

(1)若时，的值域是，求实数a的值；

(2)设关于x的方程的两个实根为，；试问：是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由二次函数的对称轴判断其在时的单调性，求得最小值为0，即可解出实数a的值.

（2）先根据关于x的方程由韦达定理表示出的值，根据恒成立问题的性质判断需由求出其最大值，使原不等式等价转化为，再根据m的正负分类讨论，将t进行分离，同样根据恒成立问题的性质将t的最值分别代入，求解关于m的不等式即可.

【详解】（1）的对称轴为，

所以在上单调递增，

故当时，

所以.

（2）方程等价于

则，

所以

当时，，

即

故不等式对任意恒成立，

等价于

当时，原不等式显然不成立；

当时，原不等式等价于对任意的恒成立，

即，解得；

当时，原不等式等价于对任意的恒成立，

即，解得.

综上：存在实数m的取值范围为使不等式对任意及恒成立.