2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．函数的定义域为，的定义域为，则（   ）

A． B．

C．{x｜－1≤x≤1} D．{x｜－1≤x＜1}

【答案】D

【分析】先求出两个函数的定义域，进而可得交集.

【详解】对于有，解得，即，

对于有，解得，即，

故

故选：D.

2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）

A．对任意实数x, 都有x > 1 B．不存在实数x，使x1

C．对任意实数x, 都有x1 D．存在实数x，使x1

【答案】C

【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．

∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是

“对任意实数x，都有x≤1”

故选C．

3．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数m的值为（    ）

A．0 B．1或2 C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据函数为幂函数列式，结合单调性求得的值．

【详解】由于函数为幂函数，

所以，解得或，

时，，在上递减，符合题意，

时，，在上递增，不符合题意．

故选：C

4．已知，，，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先分别求出命题中的取值范围，再利用集合之间的关系，即可判断.

【详解】解：，，

故，

故，

令，

由，

解得：或，

令，

又，

故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

5．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分段函数单调性列不等式组求解

【详解】，故在上单调递减，

由题意得解得，

故选：B

6．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】B

【分析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.

【详解】因为函数（b，c为实数），，

所以，

解得，

所以，

因为方程有两个正实数根，，

所以，

解得，

所以，

当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，

故选：B

7．二次函数在区间上为偶函数，又，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据偶函数的性质，定义域关于原点对称，求出，再得到二次函数，再根据其对称性，单调性得到答案.

【详解】由题意得解得．，．

函数的图象关于直线对称，．

又函数在区间上单调递增，

，．

故选：A.

【点睛】本题考查了对偶函数的理解，二次函数的对称性、单调性，属于基础题.

8．若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，则满足xf（x+1）≥0的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣4]∪{0}∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[0，1]∪[4，+∞）

C．[﹣4，﹣1]∪[0，2] D．（﹣∞，﹣4]∪{﹣1，0}∪[2，+∞）

【答案】D

【分析】根据条件先作出函数f（x）的图象，利用分类讨论思想进行求解即可．

【详解】∵定义在R的奇函数f（x）在（−∞，0）上单调递增，且f（3）＝0，

∴f（x）的图像如图：

当x＝0或x＋1＝0时，满足条件，此时x＝0或x＝−1，

当x≠0且x≠−1时，不等式xf（x＋1）≥0等价为

或，

即或，

得或，即x≥2或x≤−4，

综上实数x的取值范围是x≥2或x≤−4或x＝0或x＝−1，

即x的取值范围是（−∞，−4]∪{0，−1}∪[2，＋∞），

故选：D．

二、多选题

9．已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】且，，且的符号不确定.

对于A，，，由不等式的基本性质可得，故A一定能成立；

对于B，，，，，即，故B一定能成立；

对于C，取，则，若，有，故C不一定成立；

对于D，，，，故D一定能成立.

故选：ABD

10．设正实数a，b满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】选项A：，当且仅当时取等号，故A正确；

选项B：，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B错误；

选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C正确；

选项D：由，化简得，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ACD.

11．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ）

A．2 B．-1 C．0 D．1

【答案】BC

【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.

【详解】解：当时，，

所以当时，，

若，则，

所以此时，即存在最小值，

若，则当时，，无最小值，

若，则当时，为减函数，

则要使存在最小值时，

则，解得，

综上或.

故选：BC.

12．若函数是定义在上的奇函数，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．若在上有最小值-1，则在上有最大值1

C．若在上单调递增，则在上单调递减

D．若函数，则为偶函数

【答案】ABD

【分析】根据函数奇偶性的性质一一判断即可；

【详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以、，且函数图象关于原点对称，故A正确；

对于B：若在上有最小值，则在上有最大值，故B正确；

对于C：若在上单调递增，则在上单调递增，故C错误；

对于D：因为定义域为 ，则，即为偶函数，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．若函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，则函数y＝f（）的定义域为_______．

【答案】

【分析】直接根据可得答案.

【详解】因为函数y＝f（x）的定义域是[1，2]，

则，解得，

即函数y＝f（）的定义域为

故答案为：

14．设函数，若，则_______．

【答案】##0.5

【分析】利用分段函数得到，然后分和两种情况进行分类讨论即可求解

【详解】因为，所以，

当即时，，解得，舍去；

当即时，，解得，

故答案为：

15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是___________.

【答案】[10，30]

【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出x，y的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式，解之可求得答案.

【详解】解：设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，

所以，又矩形的面积，所以，解得，

所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30].

故答案为：[10，30].

16．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________

【答案】1

【详解】显然函数的最大值只能在或时取到，

若在时取到，则，得或

，时，；，时，（舍去）；

若在时取到，则，得或

，时，； ，时，（舍去）

所以

四、解答题

17．已知全集，集合，集合.

(1)当时，求与；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）先求解一元二次不等式得到集合，代入，得到集合，利用交集运算可得，利用补集运算得到，在利用并集运算可得；

（2）先求解集合时的解，再求解时，根据包含关系得到不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：集合，当时，

或，故，或.

（2）解：由题可知.或，若

①当时，即，符合题意.

②当时，即时

（ⅰ）不符合题意，舍去

（ⅱ）解得，

综上所述，.

18．设函数．

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；

（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【详解】（1）由题意可知：方程的两根是，1

所以解得

（2）由得

，成立，即使恒成立，

又因为，代入上式可得恒成立．

当时，显然上式不恒成立；

当时，要使恒成立

所以，解得

综上可知的取值范围是．

19．已知函数．

(1)用定义证明函数在区间上单调递增；

(2)对任意都有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由定义证明即可；

（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围．

【详解】（1）任取，且，

因为，所以，

所以，即.所以在上为单调递增．

（2）任意都有成立，即.

由（1）知在上为增函数，所以时，.

所以实数的取值范围是.

20．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）. 每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；

(2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)当产量为100件时，最大利润为1000万元

【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；

（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

【详解】（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入−成本，

∴；

②当x≥80时，根据年利润＝销售收入−成本，

∴．

综合①②可得，；

（2）①当0＜x＜80时，，

∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；

②当x≥80时，，

当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．

综合①②，由于950＜1000，

∴当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元

21．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知，且在上恒成立，求的取值范围；

(3)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解；

（2）由参变量分离法可得出，由求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；

（3）根据题意求出的取值范围，利用韦达定理结合不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】（1）解：当时，由，解得或，

故原不等式的解集为或.

（2）解：当时，，

由，可得，

因为，则，所以，.

（3）解：由题意可知，且有，解得，则，

所以，.

22．已知定义域为，对任意都有，当时，，．

(1)试判断在上的单调性，并证明

(2)解不等式：

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）由单调性的定义结合已知条件证明即可

（2）结合条件将所求不等式化为，由函数的单调性解出不等式即可.

【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下：

任取，且，

可得

，

因为，且时，，

所以，

所以

即，

所以在上单调递减．

（2）令，得，

∴   

∴

∴，

又在上的单调递减且

∴，

∴．  

∴，

即不等式解集为