2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．设全集，若集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算绝对值不等式求出集合，进而求出交集.

【详解】，解得：或，

所以集合或，

所以.

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据命题否定的定义即可得到答案

【详解】命题“，”的否定是“，”

故选：D

3．设，则“ “是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必条件

【答案】B

【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】由，得，又由，得，

因为集合，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

4．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分段函数单调性列不等式组求解

【详解】，故在上单调递减，

由题意得解得，

故选：B

5．已知函数满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】赋值法得到，进而得到，即是以6为周期的函数，且得到，从而利用函数周期性求解出.

【详解】，

令得：，

因为，所以，

令，得：，

即，

则，

上面两式子联立得：，

所以，

故，

故是以6为周期的函数，

且

，

所以

故选：A

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.

【详解】，该函数的定义域为，

，则函数为奇函数，排除BD选项，

当时，，当且仅当时，等号成立，排除A选项.

故选：C.

7．设函数，若对任意的实数都成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得答案．

【详解】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，

则m≤x4对任意的实数x≥2都成立，

由对勾函数的图象和性质，可得

y＝x，（x≥2）在x＝2时，取最小值，

故m4，

即实数m的取值范围是（﹣∞，]，

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质，熟练掌握对勾函数的图象和性质，是解答的关键．

8．已知函数､是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性可得，从而可求得函数的解析式，再根据，可得，令，则函数在上递增，再根据函数的单调性分和结合二次函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为是奇函数，是偶函数，

所以，

又，则，

两式相加可得，

若对于任意，都有，

可变形为，

令，则函数在上递增，

当时，在上递增，符合题意，

当时，则函数为二次函数，对称轴为，

因为函数在上递增，

所以或，解得或，

综上所述，.

故选：C.

二、多选题

9．（多选）下列关系中，正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据各数集的概念直接判断即可.

【详解】，故A正确；

不是有理数，所以，故B正确；

N为自然数集，所以，故C错误；

不是整数，所以，故D错误；

故选：AB．

10．已知，且，，，则取值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】分别将各选项代入集合，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案.

【详解】选项A：当时，，，故，A错误；

选项B：当时，，，故，B正确；

选项C：当时，，，故，C正确；

选项D：当时，，，故，D正确.

故答案为：BCD.

11．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（    ）

A．若为的“跟随区间”，则

B．函数存在“跟随区间”

C．若函数存在“跟随区间”，则

D．二次函数存在“3倍跟随区间”

【答案】AD

【分析】对A，由跟随区间的定义可得，求解即可；对B，根据定义得出可求解；对C，根据定义得出，解得，令化简可判断在区间上有两根不相等的实数根；对D，根据定义设定义域为，值域为，可得讨论当时即可.

【详解】对A，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故．故A正确；

对B，因为函数在区间与上均为减函数，故若存在跟随区间则有，解得：，但，

故不存在，B错误．

对C，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，，

即，因为，所以．

易得．所以，

令代入化简可得，同理也满足，即在区间上有两根不相等的实数根．

故，解得，故C不正确．

对D，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为．当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或．故存在定义域，使得值域为．故D正确．

故选：AD．

12．已知函数的图象关于直线对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据题意求得函数为偶函数，且在上为减函数，在上为增函数，把不等式转化为，得到不等式恒成立，设，令，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】因为函数的图象关于对称，

可得函数关于y轴对称，即为偶函数，

又当时，恒成立，所以在上为减函数，

则在上为增函数，

又因为，所以，

即恒成立，即恒成立，

设，令，

即在区间上恒成立，

当时，即时，在为单调递增函数，

则满足，符合题意；

当当时，即或时，

要使得在区间上恒成立，则满足，

解得且，即或，

综上可得，实数的取值范围是，

结合选项，选项A、C符合题意.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.

【详解】由题要使得有意义，则，

故且，

从而的定义域为，

故答案为：.

14．已知幂函数在上单调递增，则m＝______．

【答案】4

【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.

【详解】由题意可得，解得

故答案为：4.

15．已知为正实数，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.

【详解】由题得，

设，则.

当且仅当时取等.

所以的最小值为6.

故答案为：6

16．已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是______

【答案】

【分析】由、有、，由、有、，结合不等条件及可求得，而即可求的范围

【详解】由

且

∴，且，

又且有：，

∴，

故，而

∴

∴，有

，有

故

若令，则，解得

∴，即，而

即，所以

故答案为：

【点睛】本题考查了集合、二次函数与一元二次方程、不等式；根据集合的描述及其元素，结合二次函数对应一元二次方程的解的性质及根与系数关系，求得相关参数的表达式，应用已知不等式恒成立求目标式的范围

四、解答题

17．已知集合.

(1)求；

(2)若，且，求a的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）利用交集，补集，并集进行运算；（2）根据交集结果比较端点值，求出a的取值范围.

【详解】(1)解不等式得，

结合得，

又，或，

或

(2)若，则，

若，则

所以，a的取值范围为

18．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意分类讨论去绝对值解不等式；

（2）根据绝对值三角不等式求的最小值，再结合恒成立问题，运算求解.

【详解】(1)由于，

当时，，解得，此时；

当时，不成立，此时无解；

当时，，解得，此时.

综上：的解集为.

(2)∵，当且仅当时等号成立

∴，即，解得.

∴m的取值范围是.

19．已知集合，，全集．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.

（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.

【详解】(1)当时，集合，或，

．

(2)若“”是“”的必要条件，则，

①当时，；

②，则且，.

综上所述，或．

20．设函数．

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；

（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【详解】(1)由题意可知：方程的两根是，1

所以解得

(2)由得

，成立，即使恒成立，

又因为，代入上式可得恒成立．

当时，显然上式不恒成立；

当时，要使恒成立

所以，解得

综上可知的取值范围是．

21．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【详解】(1)由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

(2)当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

22．已知函数.

(1)若存在实数，使得成立，试求的最小值；

(2)若对任意的，都有恒成立，试求的取值范围.

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）代入，化简可得，令，可得，结合单调性求解即可；

（2）转化为，结合二次函数性质分，，三种情况讨论即可.

【详解】(1)由题意，由得，，即，

，

令，则，

由于函数在为增函数，在为减函数，

，即的最小值为1.

(2)二次函数的开口向上，对称轴为，

若对任意的，都有恒成立，

则当时，，

①当，即时，，

故，解得，又，故无解；

②当，即时，，

，

要使得，只需且，

故，

，

故；

③当，即时，

，

则，即，解得，与矛盾，无解.

综上，实数的取值范围是.