2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一上学期期中数学试题B卷（解析版）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高一上学期期中数学试题B卷

一、单选题

1．设集合，，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】根据集合并集的运算，可得，

故选：D.

2．下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据相等函数的判断性质进行定义域和对应法则的判断.

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数，进行判断即可．

【详解】解：对于选项A：，与的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 

对于选项B：，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故B正确； 

对于选项C：，与的对应关系不同，所以不是同一函数，故C错误；

对于选项D：，与的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误．

故选：B．

3．“”是“”的(  )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若成立，则一定成立；反之若成立，则不一定成立；因此“”是“”的充分而不必要条件；

【解析】充分必要条件;

4．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，求出，从而可求的值.

【详解】因为，令，则，所以，

所以，所以.

故选：C.

5．某校高一（1）班有50名学生，秋季运动会上，有15名学生参加田赛项目，有20名学生参加径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有6名学生，则该班中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ）

A．29 B．21 C．15 D．9

【答案】B

【分析】根据容斥原理以及题干数据，求解即可

【详解】设集合参加田赛项目的学生，参加径赛项目的学生，

根据题意，中有15个元素，中有20个元素，且田赛和径赛都参加的有6名学生，则有6个元素，

根据容斥原理，班上田赛和径赛都没有参加的人数为人.

故选：B

6．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.

【详解】函数的对称轴为，

由于在上是减函数，所以.

故选：B

7．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将不等式化为，从而可得答案.

【详解】不等式可转化成，

解得，即不等式的解集为.

故选：D

8．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意对二次项系数分类，结合二次函数图像的特征列出关系式，求解即可.

【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意；

当时，要使不等式对一切实数都成立，

则，

综上可得，即；

故选：C.

二、多选题

9．已知集合，则下列式子正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】解出集合A，根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系即可判断．

【详解】

由于，则选项A正确；

由于，则选项B不正确；

由于，则选项C正确；

由于，则选项D不正确．

故选：AC．

10．设，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断AD，列举例子判断BC.

【详解】A.，同除可得，A正确；

B.当时，，B错误；

C.若，此时有，C错误；

D.，故，D正确.

故选：AD.

11．已知定义在上的偶函数，它在上的图象如图所示，则该函数（    ）

A．有两个单调递增区间 B．有三个单调递减区间

C．在其定义域内有最大值7 D．在其定义域内有最小值

【答案】AC

【分析】根据题意补全函数的图象，进而观察图象求得答案.

【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示．由图象可知该函数有两个单调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值．

故选：AC．

12．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若在上有最小值，则在上有最大值1

C．若在上为增函数，则在上为减函数

D．若时，，则时，

【答案】AB

【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质判断．

【详解】选项A，是R上的奇函数，则，所以，A正确；

选项B，在上，且存在，使得，

则时，，，，即在上有最大值为1，B正确；

选项C，设，则，由已知，即，

所以，所以在上是增函数，C错；

选项D，设，则，，

，D错．

故选：AB．

三、填空题

13．设全集，集合，则__________．

【答案】或

【分析】根据补集的定义，利用数轴观察集合在全集下的补集.

【详解】因为，，所以或.

【点睛】集合中求补集时，要注意端点是否可取到.

14．函数 ， 则_______.

【答案】1

【分析】根据分段函数的特点即可求解.

【详解】因为，所以.

故答案为：1

15．当时，的最小值为______

【答案】5

【解析】根据基本不等式可求得结果.

【详解】因为，

所以，当且仅当时，等号成立.

故答案为：5

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16．若偶函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.

【答案】（﹣3，）

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.

【详解】解：偶函数在上为增函数，

在上为减函数，

则不等式等价为，

即，

平方得，

解得，

故答案为：

【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.

四、解答题

17．已知集合 ，集合．

(1)求，；

(2)求的所有子集，并求出它的非空真子集的个数．

【答案】(1)；

(2)子集为，，，，非空真子集有2个

【分析】（1）确定集合A的元素，根据集合的交集和并集运算求得答案;

（2）根据的元素，即可写出其子集，进而确定真子集的个数.

【详解】（1）由题意得，，

所以，；

（2）因为，所以其子集有：，，，，

非空真子集有2个.

18．已知函数f(x)＝－，

（1）求函数f(x)的定义域；

（2）求f(－1)，f(12)的值.

【答案】（1）[－4，1)∪(1，＋∞)；（2）；.

【分析】（1）根据题意知且，由此可求其定义域；

（2）直接将代入解析式求值即可

【详解】（1）根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为.

（2）.f(12)＝＝.

【点睛】本题考查具体函数的定义域，求函数值，属于基础题.

19．已知，，且．

(1)求的最大值，以及取最大值时、的值；

(2)求证：．

【答案】(1)的最大值为，取最大值时，

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式即得；

（2）利用“乘1法”可证.

【详解】（1）由基本不等式，得，

则，得．

当且仅当时，等号成立，

故的最大值为，取最大值时，．

（2）证明：

，

当且仅当时，等号成立，

故，当且仅当时，等号成立．

20．已知函数且．

(1)求实数的值，判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；

(2)证明函数在上是增函数．

【答案】(1)，奇函数，证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；

（2）根据单调性的定义进行证明即可.

【详解】（1）函数且，

，即.

函数在其定义域上是奇函数，证明过程如下.

证明：

，

的定义域为，关于原点对称，

又，

函数在其定义域上是奇函数.

（2）证明：设，，且，则

，

，，

又，，，即，

，即.

函数在上是增函数.

21．已知二次函数满足条件，及.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最值.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）设，，代入求解，化简求解系数．

（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．

【详解】解：（1）设，，则

，

∴由题，恒成立

∴，，得，，，

∴.    

（2）由（1）可得，

所以在单调递减，在单调递增，且，

∴，.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，及待定系数法求解析式，利用等式恒成立解决，属于基础题．

22．已知关于的不等式

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若，求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据一元二次不等式解集和一元二次方程根的关系可直接构造方程组求得结果；

（2）分别在、、、和的情况下解不等式即可.

【详解】（1）不等式的解集为，

，且和是的两根，

，解得：.

（2）①当时，不等式可化为，解得：，即不等式解集为；

②当时，令，解得：，；

若，则，或，即不等式解集为；

若，则，，即不等式解集为；

若，则，不等式解集为；

若，则，，即不等式解集为；

综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.