2022-2023学年吉林省吉林市第四中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省吉林市第四中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案.

【详解】因为，解得，

所以集合，

又集合，

所以.

故选：D

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用定义写出命题的否定即可．

【详解】命题的否定是

故选：A

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据命题的充分必要性直接判断.

【详解】对于不等式，可解得或，

所以可以推出，而不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

4．下列各式中，正确的个数（    ）

①②③④⑤⑥⑦⑧

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】不含任何元素，判断①错误；是任何集合的子集，判断②正确；集合与集合之间不能用属于符号，判断③⑥错误；数与集合之间不能使用等于符号，判断④错误；由，判断⑤正确；中的元素都在，判断⑦正确；两个集合中的元素完全相同，判断⑧正确

【详解】解：①不含任何元素，是以0为元素的集合，故①错误；

②是任何集合的子集，故②正确；

③是一个集合，集合与集合之间不能用属于符号，故③错误；

④是一个数，不是集合，它与集合之间不能使用等于符号，故④错误；

⑤是以0为元素的集合，则正确，故⑤正确；

⑥和都是集合，集合与集合之间不能用属于符号，故⑥错误；

⑦和都是集合，中的元素都在，故，故⑦正确；

⑧和都是集合，两个集合中的元素完全相同，故，故⑧正确

故选：D.

【点睛】本题考查元素与集合的属于关系、集合与集合的基本关系、是基础题.

5．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】特值法：令即可排除A、B、C，利用不等式性质可以判断D.

【详解】令易知：，，，

∴A、B、C错误；

由，则，故D正确.

故选：D

6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是

A．SPM B．S＝PM C．SP＝M D．P＝MS

【答案】C

【详解】运用整数的性质求解．集合M、P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集．故选C.

【解析】集合间的基本关系.

7．下列说法正确的是（    ）

A．的解集为

B．不等式的解集为

C．如果，则的解集是

D．的解集和不等式组的解集相同

【答案】C

【解析】运用排除法，排除ABD得解.

【详解】的解集为;不等式的解集为;的解集,不等式组的解集,所以ABD错误.

故选：C

【点睛】一元二次不等式通常与一元二次方程及一元二次函数图象结合是解题关键.属于基础题.

8．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（    ）

A．20m B．50m C．m D．100m

【答案】B

【分析】设，则，则，展开后再利用基本不等式，即可得出答案.

【详解】设，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当BC的长度为50m时，整个项目占地面积最小．

故选：B．

二、多选题

9．下列四个命题中正确的是（    ）

A．

B．由实数x，－x，，，所组成的集合最多含2个元素

C．集合中只有一个元素

D．集合是有限集

【答案】BCD

【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.

【详解】对于A，空集不含任何元素，集合有一个元素0，所以不正确；

对于B，由于，，且在x，－x，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；

对于C，，故该集合中只有一个元素，故C正确；

对于D，集合是有限集，故D正确．

故选：BCD．

10．给出下面四个推断，其中正确的为（    ）.

A．若，则 B．若，则；

C．若，，则 D．若，，则

【答案】AD

【分析】A.利用基本不等式判断；B.取特殊值判断； C. 取特殊值判断； D.利用作差法比较判断.

【详解】A.因为，则，当且仅当，即 时，等号成立，故正确；

B.当时，满足，而，故错误；

C. 当时，，故错误；

D.因为，，则，所以，故正确；

故选：AD

11．下列函数中，最小值为2的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】本题目考察基本不等式的应用，需要注意三个点，一是为正，二是乘积为定值时可以求和的最小值，三是当且仅当时取等，三个条件缺一不可

【详解】选项A中，时，，，，所以最小值不是2，错误

选项B中，当时，，当且仅当时取等；当时，，当且仅当时取等；所以，最小值为2，正确

选项C中，，当且仅当时取等，此时无解，所以取不到最小值2，错误

选项D中，，当且仅当时取等，所以最小值为2，正确

故选：BD

12．若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ）

A． B．1 C．4 D．7

【答案】BC

【解析】首先写出特称命题的否定，根据命题“，”是真命题，根据恒成立，讨论的取值，求参数的取值.

【详解】由题可知，命题“，”是真命题，

当时，或.

若，则原不等式为，恒成立，符合题意；

若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意.

当时，依题意得.

即解得.

综上所述，实数的取值范围为.

故选:BC.

【点睛】本题考查存在量词命题否定的应用，重点考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于基础题型.

三、填空题

13．已知集合，集合．若，则实数________．

【答案】

【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互异性，得到正确答案.

【详解】集合，集合．

①若，解得：或.

当时，与元素的互异性相矛盾，舍去.

当时，符合题意.

②若，解得：.舍去.

故.

故答案为：-1.

14．已知，，且，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】由题意可得，再妙用“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值，注意等号成立的条件.

【详解】，，，，

，当且仅当时，即时，等号成立.

则的最小值为.

故答案为：.

15．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______．

【答案】或

【分析】转化为二次方程有解，利用判别式大于等于0 求解

【详解】若命题“”是真命题，

则，解得或

故答案为：或

16．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【详解】试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.

【解析】1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.

【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式的解集是空集的问题，转化为不等式恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数的取值范围.

四、解答题

17．已知集合，集合，

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）首先化简集合，然后根据集合的交集的概念即可求解

（2）先根据集合并集的概念求出，然后根据补集的概念求解即可.

【详解】（1）因为集合，则，

又集合，则，所以

（2）因为，则或

18．求解下列问题：

(1)解不等式：；

(2)已知函数．若对于，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分式不等式的解法求得正确答案.

（2）对进行分类讨论，结合判别式来求得的取值范围.

【详解】(1)，

解得，

所以不等式的解集为.

(2)函数，对于，恒成立，

当时，恒成立，符合题意.

当时，不恒成立，不符合题意.

当时，，

综上所述，的取值范围是.

19．已知p：关于x的方程有实数根，q：.

(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由命题p是假命题，可得，从而可求出实数a的取值范围；

（2）根据题意可得，从而可求出实数m的取值范围.

【详解】(1)因为命题p是假命题，所以对于方程无实根，

有，解得，

所以实数a的取值范围是.

(2)由（1）可知p：.

因为p是q的必要不充分条件，

所以，则，解得，

所以实数m的取值范围是.

20．已知关于的不等式.

(1)若的解集为，求实数的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)，；

(2)答案见解析．

【分析】（1）由不等式的解集得相应方程的根，由韦达定理列方程组求解；

（2）先根据分类讨论，在时，再根据两根的大小分类讨论得结论．

【详解】(1)因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；

(2)，

当a=0，不等式为，不等式的解集为；

当时，不等式化为，不等式的解集为

当时，方程的两个根分别为：.

当时，两根相等，故不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为或，.

综上：

当时，不等式的解集为

当a=0，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；