2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，那么“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求解集合中的不等式，可得，分析即得解.

【详解】由题意，集合，

故，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

2．函数的定义域为（　　）

A．（-1，0）∪（0，2] B．[-2，0）∪（0，2] C．[-2，2] D．（-1，2]

【答案】D

【详解】由题意得，选D.

3．下边的Venn图中，两个椭圆区域对应集合A，B，其中，．则阴影部分表示（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,由此求解即可．

【详解】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,

，，,

所以阴影部分表示的集合为，

故选：C．

4．若，，则下列各式中，恒等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用对数的运算法则可判断各选项的正误.

【详解】对于AD选项，，AD均错；

对于B选项，，B错；

对于C选项，，C对.

故选：C.

5．设集合，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合并集的运算性质进行求解判断即可.

【详解】因为，所以有，

故选：D

6．若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】D

【解析】利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】由题意得：，

当且仅当，即时等号成立，

故选：D

7．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得，进而得，再解不等式即可.

【详解】因为偶函数在区间上单调递减，

且满足，

所以不等式等价于，即，

所以，解得，

即的取值范围是.

故选：C.

8．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记做．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先结合差集的定义，由得，再利用基本不等式化简集合，分类讨论的取值得到集合，从而利用集合的包含关系求得a的取值范围.

【详解】根据差集的定义，由可得，

因为，，

又因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，即，故，

由得，

令，得或，

当，即时，上述不等式解得，即，显然此时集合没有任何包含关系，不满足题意；

当，即时，上述不等式化为，显然无解，即，显然不成立，不满足题意；

当，即时，上述不等式解得，

因为，所以由数轴法可得，故；

综上：，即.

故选：A.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若 ，则

B．若，，则

C．已知a，，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质可判断A;根据基本不等式可判断C,举反例可判断B,D.

【详解】由，可得，故，

，即，A正确；

取 ，满足，，但，B错误；

由a，，则，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，故，C正确；

时，取，则没意义，故不成立，D错误，

故选：AC.

10．下列结论正确的是（    ）

A．若的定义域为，且，则必不为奇函数

B．若的定义域为，则函数必为奇函数

C．若的定义域为，且，则必不为减函数

D．若，均为定义在上的增函数，则必为增函数

【答案】BC

【分析】举例，可判断A;根据奇函数定义可判断B;根据单调函数性质可判断C;举反例，，判断D.

【详解】若的定义域为，当时，满足，

此时为奇函数,A错误；

若的定义域为,则函数满足，

故为奇函数，B正确；

若的定义域为，且，则必不为减函数，

因为如果为减函数，则有，与条件矛盾，故C正确；

若，均为定义在上的增函数，不妨取，，

函数，不是R上的增函数，D错误，

故选：BC.

11．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：dB）．下列选项中正确的是（    ）

A．闻阈的声强为

B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍

C．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：dB）

D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB

【答案】ACD

【分析】依题意求出，即可判断A；将、代入求声强范围判断C；设声强变为原来的倍，对应声强级增加，依题意得到方程，解得，即可判断B、D.

【详解】解：由题意，即，所以，所以，故，故A正确；

若，即，则；

若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），C正确；

设声强变为原来的倍，对应声强级增加，

则，解得，

即如果声强变为原来的倍，对应声强级增加，故D正确，B错误；

故选：ACD

12．对于定义域为函数，若满足，，都有，我们称为“下凸函数”，比如函数即为“下凸函数”．对于“下凸函数”，下列结论正确的是（    ）

A．一次函数有可能是“下凸函数”

B．二次函数为“下凸函数”的充要条件是

C．函数为“下凸函数”的充要条件是

D．函数是“下凸函数”

【答案】BCD

【分析】对于A，计算可得，判断A;对于B,C,采用作差法，计算的结果，根据结果可判断函数为“下凸函数”的充要条件；对于D，计算，说明结果大于0，即可判断.

【详解】，,对于一次函数，

，，

即，故不可能是“下凸函数”，A错误；

对于二次函数，对任意，，

，

当二次函数为“下凸函数”时，满足，

即，反之当时，成立，

故二次函数为“下凸函数”的充要条件是，B正确；

对于，对任意，，

，

当函数为“下凸函数”时，满足，

即，反之当时，成立，

故函数为“下凸函数”的充要条件是，C正确；

对于函数，，,

，

故，所以函数是“下凸函数”，D正确，

故选：BCD.

【点睛】本题考查了函数的新定义问题，解答时要理解新定义的含义，明确如何判断一个函数是否符合该定义，解答的关键是作差，求得的结果，从而作出判断.

三、填空题

13．若，则的最小值为________．

【答案】6

【分析】由基本不等式即可求解最小值.

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当，即时有最小值.

故答案为：6

14．关于x的不等式的解集中有且只有1个整数，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】构造二次函数，解集中只有一个整数，则应该是只有对称轴处的整数或距离对称轴最近的整数满足条件.

【详解】设，由已知的解集中只有一个整数，

因为函数的对称轴为，则需满足

  即  解得，

故答案为：.

15．已知，，用表示，中的较大者，记作，当时，的值域为________．

【答案】

【分析】作差法比较两个函数的大小，得出的解析式求值域.

【详解】令

解得，或，此时，；

解得，，此时，.

所以，

显然，在上单调递减，最大值为，最小值为，值域为；

在上单调递增，最大值为，最小值为，值域为.

综上可得，当时，的值域为.

故答案为：.

16．定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是________．

【答案】8

【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答.

【详解】上函数满足，当时，，，

当时，，，，

当时，，，，

当时，，，，

由得，，因此当时，恒成立，

观察图象知，，则有，所以m的最小值是8.

故答案为：8

【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）已知，，试用a，b表示．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指数式以及对数的性质即可求解，

（2）根据对数的运算法则即可求解.

【详解】（1）

（2）

18．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合B：

(2)设不等式的解集为A，若是的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解；

（2）解不等式得A，由集合间关系列不等式求解.

【详解】（1）令，

由“，都有不等式成立”是真命题得，

，

在上单调递减，在上单调递增，

且，

所以，，所以，

故m的取值集合

（2）由可得，，即

由是的充分条件知：

又，所以有.

19．设二次函数．

(1)若，，且有两个零点，求c的取值范围；

(2)若的解集是，求不等式的解集．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据有两个零点可知相应方程有两实数根，利用判别式求得答案即可；

（2）根据的解集是，可得且，2是方程的两根,即得根与系数的关系式，由此化简，即可求得答案.

【详解】（1）当，时，,

因为有两个零点,

所以，即,

故c的取值范围;

（2）由的解集是知：

且，2是方程的两根,

由韦达定理知： ,

由得：,

,,

解得或,

故不等式的解集为.

20．记函数（）．

(1)判断并证明的奇偶性；

(2)证明：当时，在上单调递增；

(3)当时，关于x的方程有解，求b的取值范围．

【答案】(1)为奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

(3)或

【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；

（2）利用函数的单调性的定义进行证明；

（3）利用换元法和判别式法求b的范围.

【详解】（1）为奇函数，证明如下：

的定义域为，且对，

都有，

故为奇函数；

（2）证明：

任取且，

则

，

由知：

，，，

即有，即，

故在上单调递增；

（3）当时，由得：

，即，

令（），则关于t的方程（）有解，

则，

解得或.

21．已知集合，，，且集合D满足，．

(1)求实数t的值：

(2)对集合，其中，定义由A中的元素构成两个相应的集合中：，，其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的，总有，则称集合A具有性质P．

①请检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

【答案】(1)3

(2)①答案见解析；②，证明见解析

【分析】（1）解不等式求出，，结合，求出或，检验，舍去不合要求的解，得到；

（2）①先根据第一问求出，，由，判断不具有性质P，而具有性质P，求出相应的集合，

②由逻辑推理得到且，从而得到.

【详解】（1）由题：，

，

又，

因为，所以，

因为 则，即或或

当时，满足题意．

当时，不满足,

综上可知，；

（2）①由（1）知,

由，知，不具有性质P，

满足任意的，总有,

所以，具有性质P，

其中，，

②，

证明如下：

若，则有，，且，

从而有，

若，为S中的不同元素，则，中至少有一个不成立，

即，中至少有一个不成立，

即，也是T中不同的元素，

故；

若，则有，，且，

从而有，

若，为T中的不同元素，则，中至少有一个不成立，

即，中至少有一个不成立，

即，也是S中不同的元素，

故，

综上可知，.

22．已知函数．

(1)当时，求的值域；

(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围；

(3)讨论函数在上的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析,

【分析】（1）分段函数分别求值域即可；

（2）分离参数，结合基本不等式，即可求得的范围；

（3）对二次函数对称轴的情况分类讨论即可.

【详解】（1）当时，,

时，，当时有最小值1，

时，，此时，

故的值域为

（2）由得：（*）

当时，（*）显然不成立

当时，

又

当且仅当即或时等号成立

则，即，

所以a的取值范围为.

（3）由题知,

当时，，

当时，的最小值为,

当时，,

即时，

即时，

当时，，在上的最小值为,

当时，，，所以,

当时，，，所以,

当时，，，所以.

综上可知：

当时，

当时，

当时，

当时，