2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据并集的运算法则计算得到答案.

【详解】集合，，则.

故选：D.

2．已知：，：，则（    ）

A．是的充分条件但不是必要条件 B．是的必要条件但不是充分条件

C．是的充要条件 D．不是的充分条件也不是必要条件

【答案】B

【分析】利用集合间的关系理解充分、必要条件.

【详解】设，则A，

故是的必要条件但不是充分条件.

故选：B.

3．不等式的解为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】将其转化为一元二次不等式求解即可.

【详解】不等式可变形为，即，解得或

故选：C

4．已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.

【详解】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；

②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；

③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；

④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；

故选：A

5．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由指数运算性质即可得到答案.

【详解】

故选：B.

6．在下列图像表示的函数中，既是奇函数又是增函数的可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇函数和增函数的图像特点来判断即可.

【详解】A.图像没有关于原点成中心对称，不是奇函数，排除；

B.图像没有关于原点成中心对称，不是奇函数，排除；

C.图像在定义域上不是增函数，排除；

D.图像即关于原点成中心对称，是奇函数，又在定义域上是增函数，符合.

故选：D

7．已知函数,,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出的分段形式,画出函数图像,根据图像得出解集.

【详解】解:由题知,

,

在同一坐标系下画出图像如下所示:

由图可知的解集为.

故选:C

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把看成是函数上的点，即可根据函数的单调性得到答案.

【详解】设，单调递减，，

故

故选：A.

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于A，利用不等式的性质判断，对于B，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断，对于D，举例判断.

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以，所以C正确，

对于D，若，则，所以D错误，

故选：AC

10．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】集合为偶数集，集合为奇数集，逐个分析选项即可得到答案.

【详解】集合为偶数集，集合为奇数集，集合与集合的交集为空集，故选项A错误；集合与集合的并集为整数集，故选项B与选项C正确；由于，集合B是集合B的子集，不是真子集，故选项D错误.

故选：BC.

11．约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有个回归点，那么就称该函数为一个具有个回归点的函数.例如，点和都是函数的回归点，函数是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（    ）

A．函数是一个具有回归点的函数

B．具有回归点的函数有无数个

C．存在无数个具有无数个回归点的函数

D．已知点是函数的一个回归点，则点也是函数的一个回归点

【答案】ABC

【分析】通过计算回归点可判断A；通过举例可判断BCD.

【详解】A.令，解得，函数是一个具有回归点的函数，且回归点为；

B. 具有回归点的函数有无数个，如幂函数是回归函数,都至少存在回归点（1，1）；

C. 存在无数个具有无数个回归点的函数，如函数，，且，则其图像上的任何一个点都是回归点；

D. 已知点是函数的一个回归点，对于，是函数的一个回归点，但不是函数的一个回归点，排除.

故选：ABC.

12．已知函数，则（    ）

A．的图象与轴有且仅有1个交点

B．在上单调递增

C．的最小值为

D．的图象在的图象的上方

【答案】BCD

【分析】对A选项分析出即可判断，对B选项利用的单调性即可，对C选项利用三元均值不等式即可快速得到答案，对于D选项构造新函数，判断其恒正即可.

【详解】由题意可知,对于选项A,因为,所以,则,则函数的图象与轴沿有交点,故选项A错误;

其图像如下图所示：

对于选项B,,可知该函数在上单调递增，故选项B正确，

对于选项C，由三元均值不等式值，，当且仅当,即时取等号,故选项C正确;

对于选项D,,设,可得0,则,即的图象在的图像的上方,故选项D正确，两者图像如下图所示，

故选：BCD.

【点睛】本题结合了函数的图像及其基本性质，需要我们对常见的一些函数的单调性熟练，判别函数恒大于或恒小于0，分组判别是种常用的方法，三元基本不等式在一些求最值问题中往往有着出奇制胜的效果，整体构造新函数的方法在以后的函数学习中还会经常遇到，平时需多加训练.

三、填空题

13．在对数式中，实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据真数位置大于0得的取值范围.

【详解】由于，得

故答案为：.

14．写出命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定：________.

【答案】存在矩形不是平行四边形

【分析】由全称命题的否定：所有、任意改存在并否定原结论，即可写出否定形式.

【详解】由题设知：原命题为全称命题，其否定为特称命题，

所以，其否定为：存在矩形不是平行四边形.

故答案为：存在矩形不是平行四边形

15．多种原因导致国际原材料价格不断上涨.2021年11月，海关总署统计了当年前10个月我国主要大宗商品进口情况，数据如下表：

前10个月我国主要大宗商品进口情况

数据来源：海关部署

原材料价格的不断上涨导致终端产品被动提价.由于钢材和铜材这两种原料价格上涨，某出口企业决定根据这两种原料的增幅，对某种产品分两次提价，现有三种提价方案：

方案甲：第一次提价%，第二次提价%；

方案乙：第一次提价%，第二次提价%；

方案丙：第一次提价%，第二次提价%.

其中，那么在三种方案中，提价多的是方案________.

【答案】丙

【分析】设提价前的价格为，计算出三种方案提价后的价格，再由基本不等式求解即可.

【详解】设提价前的价格为，则甲方案提价后的价格为：

乙方案提价后的价格为：

丙方案提价后的价格为：

因为，所以

即

所以

故提价多的是方案丙.

故答案为：丙

四、双空题

16．已知，若函数的图象关于直线对称，且对于任意正数都有成立，则________，实数的最小值是________.

【答案】     23；     ##.

【分析】由，可得，或，或，

再由的图象关于直线对称，可得，，则可得，是的两个根，从而可求出，则可得，将不等式转化为，然后求出的最大值即可.

【详解】由，可得，或，或，

因为的图象关于直线对称，

所以，，

所以和是方程的两个根，

所以，得，

所以，

所以不等式可化为，

所以，

令，则其对称轴为，

所以当时，取得最大值，其最大值为，

所以，所以实数的最小值是.

故答案为：23；.

五、解答题

17．（1）解不等式：；

（2）证明不等式：.

【答案】（1）或；（2）证明见解析.

【分析】（1）整理化简为一元二次不等式形式，求解集即可；

（2）应用作差法求证结论.

【详解】（1）由题设，整理得，解得或，

所以原不等式的解集为或

（2）由，且时等号成立，

所以，得证.

18．（1）求的值；

（2）已知是非零实数，满足，分别求，的值.

【答案】（1）；（2），

【分析】（1）由对数运算计算即可；

（2）由乘法公式结合指数运算求解即可.

【详解】（1）

；

（2）因为，所以，所以，

因为，所以

19．设集合，，其中.

(1)若，求的值；

(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合和集合，再根据交集结果列不等式计算即可；

（2）根据必要条件，得到集合和集合的包含关系，再根据包含关系列不等式计算即可.

【详解】（1）解二次不等式，可得，

解一次不等式，可得，

因为，所以，

所以；

（2）因为“”是“”的必要条件，所以集合是的子集，

所以，

所以.

20．某单位要建造一间地面面积为的背靠墙的长方体形小房，房屋正面留有一扇宽为的小门，房屋的墙和门的高度都是，房屋正面的单位面积造价为1200元，房屋侧面的单位面积造价为800元，屋顶的造价为5800元.若不计房屋背面的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能使总造价（单位：元）最低？最低总造价是多少？

【答案】房屋正面的长为，房屋侧面的长为时，总造价最低，最低总造价是31000元.

【分析】设房屋正面的长为，则房屋侧面的长为，建立总造价关于x的函数，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】设房屋正面的长为，则房屋侧面的长为，

因为小房的墙的高度是，

所以房屋正面的需要费用部分面积为，房屋侧面的面积为，

因为房屋正面的单位面积造价为1200元，房屋侧面的单位面积造价为800元，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以，房屋正面的长为，房屋侧面的长为时，总造价最低，最低总造价是31000元.

21．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知该结论是真命题.

(1)求函数图象的对称中心；

(2)还有同学提出了如下两个命题：

命题①，已知函数的定义域为，如果函数为偶函数，那么函数的图象关于直线成轴对称图形；

命题②，已知函数的定义域为，如果函数的图象关于直线成轴对称图形，那么函数为偶函数；

请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由.（若两个都选，则只对你选的第一个评分）

【答案】(1)对称中心为点

(2)命题①和命题②都是真命题，理由见解析

【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义整理运算；（2）根据轴对称的性质结合偶函数的定义分析证明.

【详解】（1）显然的定义域为，

假设函数图象关于点成中心对称图形，

因为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，

所以是奇函数，

则，即，

，

整理得关于恒成立，

则，所以，，

即，，当为奇函数，

所以函数图象的对称中心为点.

（2）选择①，命题①是真命题，

因为函数的定义域为，函数为偶函数，

所以，

设点为的图象上的任意一点，

则由垂直平分线知识得：点关于直线的对称点为可以为点，

因为，

所以点就是点，

因为点在的图象上，

所以点也在的图象上，

即点关于直线的对称点在的图象上，

因为点为的图象上的任意一点，

所以函数的图象关于直线成轴对称图形.

选择②，命题②是真命题，

已知函数的定义域为，

设点为的图象上的任意一点，

则由垂直平分线知识得：

点关于直线的对称点可以为点，

因为函数的图象关于直线成轴对称图形，

所以点在的图象上，

在函数的图象上，横坐标为的点为，

由函数定义可知，自变量确定时，函数值也确定，

所以，

令，则，，

代入，得，

令，则，

即对于，，

所以函数是偶函数，即函数是偶函数，

所以函数为偶函数.

22．已知，.

(1)当时，求的最小值；

(2)若任意，，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）确定函数的对称轴，讨论对称轴和区间的位置关系，根据函数单调性，确定最值；

（2）原不等式恒成立等价于任意，，令，讨论a的取值范围，结合二次函数性质，判断函数单调性，结合不等式恒成立，求得答案.

【详解】（1）因为，对称轴为.

①当时，在上是增函数，

所以.

②当时，.

③当时，在上是减函数，

所以.

（2）任意，，等价于任意，，

等价于任意，，

令，

①当时，，，不合题意，所以；

②当时，（或的图象开口向上），不合题意；

③当时，的图象的对称轴为直线，

若，在时递减，，符合题意；

若，，

的图象开口向下，对称轴在轴右边，顶点的纵坐标是，

令，解得，

所以，

若，，的图象开口向下，对称轴在轴左边，在时单调递减，

又因为，所以当时，，所以符合题意；

综上，.