2022-2023学年江苏省南京市燕子矶中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市燕子矶中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市燕子矶中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的定义求，再由并集的定义求.【详解】因为，，所以，又，所以，故选：C.2．若a、b是任意实数，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用作差法比较分析得选项ABC错误，选项D正确.【详解】A. ，因为，所以，但是符合不确定，所以该选项不正确；B. ，但是的符号不确定，所以该选项不正确；C. ，但是的符号不确定，所以该选项不正确；D. 所以，所以该选项正确.故选：D3．已知函数 和在(0，＋∞)上都是减函数，则函数在上是A．减函数且 B．增函数且C．减函数且 D．增函数且【答案】A【详解】∵和在(0，＋∞)都是减函数，∴，∴为减函数且，故选A4．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（    ）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”为真命题，其逆否命题为“若则”为真命题，反之不成立，所以命题是命题的必要不充分条件，故“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；故选：B.5．已知函数，则的值为A． B． C． D．【答案】D【详解】，选D6．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）A． B．1 C．2 D．8【答案】C【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．【详解】的解集为，则的两根为，，∴，∴，，则，即，，当且仅当时取“=”，故选：C.8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（    ）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】先由题给条件求得函数的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得的值.【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图像关于点成中心对称，则，则有，则，则有，则函数是周期为8的周期函数，则故选：A． 二、多选题9．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，【答案】AB【分析】根据奇函数和单调性的定义与性质判断．【详解】选项A，是R上的奇函数，则，所以，A正确；选项B，在上，且存在，使得，则时，，，，即在上有最大值为1，B正确；选项C，设，则，由已知，即，所以，所以在上是增函数，C错；选项D，设，则，，，D错．故选：AB．10．已知，，且，则（    ）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B, 由，,，当且仅当时取等号，得，所以,又，所以，B正确；对于C, 由，，，得，则 ，当且仅当，即时等号成立,但，所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD11．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）A．函数是偶函数B．方程有三个解C．函数在区间上单调递增D．函数有4个单调区间【答案】ABD【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选：ABD12．已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（    ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函数C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集为【答案】ABC【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A，函数对任意实数恒有，令，可得，A正确；对于B，令，可得，所以，所以是奇函数；B正确；对于C，令，则，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以，即，所以在均递减，因为，所以在上递减； ，可得；令，可得，；，在，上的最大值是6，C正确；对于D，由不等式的可得，即，，，则，，解得：或；D不对；故选：ABC．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．已知，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，有，则命题的否定为__________．【答案】【分析】根据“全称命题”的否定是“存在性命题”求解即可．【详解】解：∵“全称命题”的否定是“存在性命题”，∴ 命题，有的否定是，故答案为：．14．已知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.【详解】设，由的图象过点，可得，解得，故.故答案为：.15．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．【答案】【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，可转化为关于a的函数，则对任意恒成立，则满足，解得，即x的取值范围为．故答案为：16．已知非负实数，满足，则的最小值为______________.【答案】【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答.【详解】非负实数，满足，有，则，当且仅当，即时取“=”，由，得，所以当时，的最小值为.故答案为： 四、解答题17．已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，集合，或，．（2）若“”是“”的必要条件，则，①当时，；②，则且，.综上所述，或．18．已知函数为奇函数.(1)求实数a的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.【答案】(1)(2)在上单调递减；证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得的值，即可得答案；（2）根据题意，任取，，且，由作差法分析的符号，由函数单调性的定义分析可得答案．【详解】（1）函数为奇函数，则，即，解可得；（2）由（1）的知，在上单调递减；证明：任取，，且，则 ，又由，，且，则，，，，则有，所以函数在上单调递减．19．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新产品．通过市场分析，生产新产品全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）新产品，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部新产品售价0.7万元，且全年内生产的新产品当年能全部销售完．(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)100千部，9000万元． 【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，结合不同情况下的另投入成本，可以求出利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（2）根据（1）的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，分别求出和两个区间的最大利润，取两者中较大的利润值，即为企业最大利润．【详解】（1）解：当时，，当时，，；（2）解：当时，，当时，万元；当时，，当且仅当时，即时，万元，∴ 2023年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元．20．已知函数.(1)试讨论在上的单调性；(2)求在上的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据函数开口方向和对称轴，结合区间端点，分情况讨论即可（2）结合（1）的单调性分情况求解.【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递增；当，即时，在单调递减；当，即时，在单调递减，在单调递增；（2）由（1）知，当，即时，在单调递增，所以在上的最小值为；当，即时，在单调递减，所以在上的最小值为；当，即时，在单调递减，在单调递增，所以在上的最小值为；21．已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求的值；(2)求关于的不等式的解集.【答案】(1)满足题意的条件为①③；，，．(2)答案见解析 【分析】（1）分别假设条件①②和条件②③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a、b、c的值；（2）化简不等式，根据m的范围讨论不等式解集即可．【详解】（1）假设条件①②符合题意．∵，二次函数图象开口向下，∴的解集不可能为，不满足题意．假设条件②③符合题意．由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．∴满足题意的条件为①③．∵不等式的解集为，∴，3是方程的两根，∴，，即，．∴函数在处取得最小值，∴，即，∴，．（2）由（1）知，则，即，即．∴当时，不等式的解集为{或}；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为{或}．22．设常数，函数．（1）若a=1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；（2）.【分析】(1)当a=1时，求得，根据二次函数的单调性求出x<0与的单调区间即可得解；(2)由f(x)是奇函数求出a，再求得，将给定不等式分离参数并构造函数，求其最大值即可作答.【详解】（1）当a=1时，，当时，，则f(x)在内是增函数，在内是减函数，当x<0时，，则f(x)在(-∞，0)内是减函数；综上可知，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；（2）因f(x)是奇函数，必有f(-1)=-f(1)，即(a+1)·1＝-(a-1)·1，解得a=0，此时，它是奇函数，因此，a=0，，则，于是有，而时，，并且，令，则在上单调递增，当时，，因此，当时，，则，所以实数m的取值范围是.