2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求补集再求并集即可.

【详解】因为，，

所以，所以.

故选：C.

2．设a，b，c为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于ABD，举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，若，则，所以B错误，

对于C，因为，，所以，所以C正确，

对于D，若，则，所以D错误，

故选：C

3．关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.

【详解】由题意可得，且1，是方程的两根，

为方程的根，，

则不等式可化为，即，

不等式的解集为．

故选: A．

4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件得到满足的不等式组为，所求解集即为定义域.

【详解】由条件可知：，所以，所以定义域为，

故选：C.

5．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.

【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，.

故选项A中，是的充分必要条件；

选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件；

选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件；

选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.

故选：C.

6．已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】由已知可得函数的对称性，然后结合函数在单调递减，所以可判断在定义域上的单调性，进而利用单调性可解.

【详解】解：，则关于对称，

因为在单调递减，

∴在上单调递减，

又

∴，

∴，

∴或，

故选：D.

【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称.

7．设，，且，则当取最小值时，（    ）

A．8 B．12 C．16 D．

【答案】B

【分析】首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可.

【详解】，，

当取最小值时，取最小值，

，，

，

，

，当且仅当即时取等号，

.

故选：

8．已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先讨论，在时，利用分离参数的思想，画出的图像，利用数形结合判断出答案.

【详解】当时，，故不是方程的根，

当时，由得，，

方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，

作出函数的大致图像如图所示，

由图可知，或.

故选：C.

【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想，根据图像判断出结果.

二、多选题

9．下列命题中为真命题的是（    ）

A．“”的充要条件是“”

B．“”是“”的既不充分也不必要条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．命题“”的否定是“”

【答案】BC

【分析】对A，由，但推不出即可判断；对B，取，满足，但；同理取，满足，但即可判断；对C，因为，但推不出即可判断；对D，根据存在量词的命题的否定即可判断.

【详解】对A：由，但当时，推不出，

所以是的充分不必要条件，故选项A错误；

对B：取，满足，但，所以推不出；

同理取，满足，但，所以推不出，

所以是的既不充分也不必要条件，故选项B正确；

对C：因为，当时满足但推不出，

所以“，”是“”的充分不必要条件，故选项C正确；

对D：命题“，”的否定是，”，故选项D错误；

故选：BC.

10．对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．集合中有个元素 D．集合中有个元素

【答案】AC

【分析】列举出集合，求出对应的的值，可得出集合，即可得出合适的选项.

【详解】且.

①当为单元素集合时，集合可取、、、，可取、、、；

②当中的元素个数为时，集合可取、、、、、，

可取、、、、；

③当中的元素个数为时，集合可取、、、，可取、、、；

④当时，.

综上所述，，AC选项正确，BD选项错误.

故选：AC.

11．方程的两根为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】构造二次函数，结合二次函数的性质即可判断

【详解】由题意，构造二次函数

则即为二次函数与轴的两个交点的横坐标

对称轴为，故C，D错误；

由于

故，故A，B正确

故选：AB

12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（    ）

A．为增函数 B．为增函数

C．的解集为 D．的解集为

【答案】ABD

【分析】利用函数的单调性定义判断AB；利用抽象函数的单调性解不等式判断CD.

【详解】对于A，对任意的，则，都有，即，

可知为增函数，故A正确；

对于B，对任意的，都有，即

令，可知为增函数，故B正确；

对于C，，则等价于，又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故C错误；

对于D，等价于，即又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．设全集，，则集合________．

【答案】

【分析】依题意，，即可得到，从而求出参数的值，即可求出集合，即可得解；

【详解】解：因为，，所以，，所以，解得，所以，解得或，所以，所以

故答案为：

14．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.

【答案】

【解析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.

【详解】因为是幂函数，，解得或1，

当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，

当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，

.

故答案为：.

15．若实数满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是________.

【答案】

【分析】结合题意，根据不等式求，代入求解．

【详解】，

，当且仅当时“”成立，

又不等式恒成立，

，

的取值范围是．

故答案为：．

四、双空题

16．已知函数，若a>0，则f（x）的定义域是___________；若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________.

【答案】         

【分析】（1）由当a>0且a≠1，再由负数不能开偶次方根，有3-ax≥0求解.

（2）先看分母，当a-1>0，即a>1时，要使“f（x）在上是减函数”，则分子是减函数，且成立：当a-1<0，即a<1时，要“使f（x）在上是减函数”则分子是增函数，且-a>0成立，两种情况的结果最后取并集.

【详解】解：（1）当a>0且a≠1时，由3-ax≥0得，

即此时函数f（x）的定义域是；

（2）当a-1>0，即a>1时，要使f（x）在上是减函数，则需3-a×1≥0，此时，

当a-1<0，即a<1时，要使f（x）在上是减函数，则需-a>0，此时a<0，

综上所述，所求实数a的取值范围是.

故答案为：（1）；（2）

五、解答题

17．（1）已知，求的最大值；

（2）已知，求的最大值．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）利用基本不等式求解积的最大值；

（2）对变形后利用基本不等式求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当时取“=”．所以函数的最大值为．

（2）因为，所以，

所以．

当且仅当时取“=”．所以函数的最大值为．

18．已知集合，．

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)若且，求实数m的值．

【答案】(1).

(2)m=或1.

【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解.

（2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解.

【详解】（1）由，知．

①当时，，解得；

②当时，有，解得．

所以实数m的取值范围为．

（2）因为，，，且，则

①当时，有，解得，

则，此时，满足题意；

②当时，有，解得，

则，此时，不满足题意，舍去；

③当时，有，解得，

此时，，满足题意．

综上，实数m的值为或1．

19．已知二次函数．

(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

(2)解关于的不等式（其中）．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；

(2)不等式化为，讨论的取值，从而求出对应不等式的解集．

【详解】（1）不等式即为：，

当时，不等式可变形为：，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

所以实数a的取值范围是.

（2）不等式，

等价于，即，

①当时，不等式整理为，解得；

当时，方程的两根为，，

②当时，可得，解不等式得或；

③当时，因为，解不等式得；

④当时，因为，不等式的解集为；

⑤当时，因为，解不等式得；

综上所述，不等式的解集为：

①当时，不等式解集为；

②当时，不等式解集为；

③当时，不等式解集为；

④当时，不等式解集为；

⑤当时，不等式解集为．

20．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求，的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)在，上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇函数的性质，结合（1），求解方程组，得到，的值，检验即可；

（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；

（3）将问题转化为，利用的单调性求出，分，和三种情况，利用的单调性求出，即可得到答案.

【详解】（1）因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），

则，解得，，

所以函数，

经检验，函数为奇函数，

所以，；

（2）在，上单调递增.

证明如下：设，

则，

其中，，

所以，即，

故函数在，上单调递增；

（3）因为对任意的，，总存在，，使得成立，

所以，

因为在，上单调递增，

所以，

当时，；所以恒成立，符合题意；

当时，在，上单调递增，则（1），

所以，解得；

当时，函数在，上单调递减，则，

所以，解得.

综上所述，实数的取值范围为.

21．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.

（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；

（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.

【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于是，所以.

（2）由（1），，

当且仅当时“=”成立.

所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

22．对于函数，若，则称实数x为的“不动点”，若，则称实数x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即，.

(1)对于函数，分别求出集合A和B；

(2)对于所有的函数，集合A与B是什么关系？并证明你的结论；

(3)设，若，求集合B.

【答案】(1)，

(2)证明见解析；

(3)

【分析】(1)由f(x)＝x，解出的值即集合A的元素，由，解出的值即集合B的元素； (2)分别讨论与的情况,当时,设,则，即，进而得证；(3)由可得,则,进而求解即可.

【详解】（1）由f(x)＝x，得，解得；

由，得，解得，

∴集合A＝{1}，B＝{1}．

（2）若，则显然成立；若，设为中任意一个元素，由，可得.

（3）解：∵，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴或或，

∴.