2022-2023学年江苏省镇江中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省镇江中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，则集合中元素的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】化简A＝{x|﹣1≤x＜4，x∈N}＝{0，1，2，3}即可．

【详解】A＝{x|﹣1≤x＜4，x∈N}＝{0，1，2，3}，

故集合A中元素的个数为4，

故选：B．

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据存在量词命题的否定，存在变任意，范围不变，结论相反即可得到答案.

【详解】命题“，”为存在量词命题，根据其命题的否定为，存在变任意，范围不变，结论相反，其否定为：，；

故选：D.

3．若函数，则函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由根式内部的代数式大于等于求解的定义域，再由 在的定义域内求得的范围，即可得到的定义域．

【详解】解：要使原函数有意义，则，解得．

由，得．

∴函数的定义域为．

故选：D．

4．已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（    ）

A． B．2 C． D．98

【答案】B

【分析】得到函数的周期，从而利用函数的周期求出.

【详解】函数满足，则函数周期为2，

则.

故选：B

5．已知,,,则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．9

【答案】A

【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开后利用基本不等式可得解.

【详解】,,,

所以,即,

则,

当且仅当且即,时取等号,

则的最小值是3.

故选：A

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.

6．若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　）

A． B．0 C． D．2

【答案】C

【分析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得．

【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，

∴，

解得，k＝﹣1，m＝﹣1，

故m+k＝﹣2，

故选：C．

7．如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（    ）

A． B． C． D．15

【答案】C

【分析】对原方程分解因式，求得两根，再求结果即可.

【详解】原方程等价于

因式分解得：，

所以，，

所以方程的两根分别为，，所以.

故选：.

8．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，取对数得，得到，分析选项，即可求解.

【详解】根据题意，对于，

可得，

可得，

分析选项，可得D中与其最接近.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能力.

二、多选题

9．下列函数中，值域为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用基本不等式分别求解即可求出值域，得出结果.

【详解】对A，因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故A正确；

对B，（），

当时，，当且仅当，即等号成立，

当时，，当且仅当，即时等号成立，

所以的值域为，故B错误；

故C，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立，故C错误；

对D，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的值域为，故D正确.、

故选：AD.

10．下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（　　）

A．p：x＞y，q：x3＞y3

B．p：x＞3，q：x＞2

C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5

D．p：a＞b＞0，m＞0，q：

【答案】BCD

【分析】利用不等式的基本性质判断A，

利用子集思想结合充分必要条件的定义判断B，

利用举例说明判断CD.

【详解】A：因为，所以p是q的充分必要条件，故A错误；

B：因为，反之不成立，所以p是q的充分不必要条件，故B正确；

C：当时，成立.

反之，当时，满足，

所以p是q的充分不必要条件，故C正确；

D：当时，则，即.

反之，当时，满足，

所以p是q的充分不必要条件，故D正确.

故选：BCD.

11．设函数，当为上增函数时，实数的值可能是（    ）

A． B．1 C．0 D．

【答案】ABD

【分析】由每一段上为增函数，且当时，，从而可求出实数的范围，进而可得答案.

【详解】解：当时，为增函数，则，

当时，为增函数，

若为增函数，则，且，解得，

所以，实数的值可能是内的任意实数.

故选：ABD.

12．对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（    ）

A．是函数的一个“和谐区间”

B．函数存在“和谐区间”

C．函数的所有“和谐区间”为、、.

D．若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是

【答案】BC

【分析】本题为新定义题目，即在定义域内满足时，则区间就为函数的一个和谐区间.

【详解】对于A中函数在区间是单调函数，但是值域为不符合题意故A错误

对于B中函数在，单调递增，由，则为方程的两个根，这样解得且故存在“和谐区间”B正确.

对于C中函数在上单调递增，即，则是关于方程的两根得，，，所以函数的所有“和谐区间”为，，，故C正确.

对于D中函数存在“和谐区间”∵在上单调增

∴∴是方程的两个不等实根

令∴在上有两个不相等实根，令

对称轴为，则，解得故D错误

故选：BC

三、填空题

13．计算：_____________.

【答案】2

【详解】 由题意得.

14．函数的单调递增区间为__．

【答案】[﹣2，2]

【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可求解.

【详解】令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，

令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，

而g（x）的对称轴是：x=2，

故g（x）在递增，在（2，6]递减，

故函数f（x）在[﹣2，2]递增，

故答案为：[﹣2，2]

【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，求解时注意函数的定义域，属于易错题.

15．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则的解集为____________.

【答案】

【分析】由偶函数判断另一半区间的单调性，在由与的符号相反就可得到不等式的解集.

【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，∴函数在上是增函数∵，∴不等式等价于或，∴或故不等式的解集为.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，若存在互不相等的实数，,满足，且，则__________；的取值范围为______________.

【答案】         

【分析】画出分段函数的图象，作出与图象相交，因为有3个根，则由可得的值.为与一次函数的交点，为与抛物线交点的横坐标，结合韦达定理和的范围就可以得到的取值范围.

【详解】作出函数的图象：

可得时，的图象是二次函数的一部分，顶点为；当时，是一次函数的一部分，令，则实数，,即为与有三个交点时，对应的三个实数根，此时，结合，可知；

令，是方程的两根，则，则，又

故答案为：6，.

五、解答题

17．已知或，，

(1)求B和C；

(2)若全集，求.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）解分式不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合；

（2）根据补集、并集的定义计算可得.

【详解】（1）解：由，等价于，解得，

所以，

由，即，解得，

所以；

（2）解：因为，，

所以或，

又或

所以或

18．命题p：“，”，命题q：“，”.

(1)当p为假命题时，求实数a的取值范围；

(2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案；

（2）利用分类讨论的解题思想，可得答案.

【详解】（1）由p为假命题，则为真命题，即，，

令，开口向上，则，解得.

（2）由（1）可知，当p为真命题时，；当p为假命题时，.

当q为真命题时，，解得；当q为假命题时，.

当p为真命题，q为假命题时，；当p为假命题，q为真命题时，；

则p和q中有且只有一个是真命题时，.

19．已知函数（，）．

(1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；

(2)若，，求关于的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为

【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可；

（2）当时，时，不等式等价于，从而分类讨论，，三种情况即可求出不等式所对应的解集．

【详解】（1）解：的不等式的解集为，

，且，3是方程的两个实数根，

，，解得，，

不等式等价于，即，

故，解得或，

所以该不等式的解集为；

（2）解：当时，不等式等价于，即，

又，所以不等式等价于，

当，即时，不等式为，解得；

当，即时，解不等式得或；

当，即时，解不等式得或，

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

20．若函数是定义在上的奇函数，

(1)求函数的解析式；

(2)用定义证明：在上是递减函数；

(3)若，求实数的范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用奇函数的性质知，代入求解即可；

（2）利用函数的单调性定义证明即可；

（3）利用函数的奇偶性及单调性解不等式即可.

【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数

则有，解得

即，经检验，满足

所以函数的解析式为．

（2）证明：任取，且，

，

所以，即，

所以在上是递减函数．

（3）由于且为上的奇函数，则

又由（2）知：在上是递减函数

所以，解得

则实数m的范围是．

21．为打好扶贫攻坚战，突出帮扶对象，落实帮扶措施，村为某帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富．现在要建成完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）．若每间猪圈的面积为平方米，高米，如果砌砖每平方米造价元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价元，设每间猪不圈靠墙一边的长为米，猪圈的总造价为元．

(1)求关于的函数关系式，并求出函数的定义域；

(2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价．

【答案】(1)

(2)答案见解析．

【分析】（1）根据题意建立数学模型即可得答案；

（2）根据基本不等式，结合对勾函数分和两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：因为每间猪圈靠墙一边的长为米，猪圈的总造价为元，

则，

（2）解：①若，，

当且仅当，即时，．

故当为米时，猪圈的总造价最低，最低造价元．

②若，函数在上递减，

所以，当时，．

故当为米时，猪圈的总造价最低，最低造价为元．

综上，当，时，最低造价元；当，时，最低造价为元.

22．已知函数[1， 2]．

（1）求函数的值域;

（2）设，，，求函数的最小值．

（3）对（2）中的，若不等式对于任意的 时恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用函数的单调性等于判断函数的单调性，然后求解值域即可．

（2）利用换元法，通过二次函数的性质求解函数的最小值即可．

（3）结合（2）利用函数的最值的关系，转化求解实数的取值范围．

【详解】解：（1）在，任取，且，则，，

所以，，

即，所以是，上增函数，

故当时，取得最小值，当时，取得最大值0，

所以函数的值域为，．

（2），，，

令，，，则．

①当时，在，上单调递增，故；

②当时，在，上单调递减，故；

③当时，在，上单调递减，在，上单调递增，

故；

综上所述，

（3）由（2）知，当时，，所以，

即，整理得，．

因为，所以对于任意的时恒成立．

令，，问题转化为,

在任取，且，则，，

所以，，

①当，，时，，所以，即，

所以函数在，上单调递增；

②当，，时，，所以，即，

所以函数在，上单调递减；

综上，，从而．

所以，实数的取值范围是．

【点睛】函数中含有参数，所以它的最值必需进行分类讨论，最后的结果要写成分段函数的形式；不等式恒成立问题求参数的值，一般和函数的最值是有关系的.