2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定格式改写即可.

【详解】特称命题的否定格式：首先特称量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，

故原命题的否定为：，

故选:C

2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；

③空集是任意集合的子集，故，正确；

④空集没有任何元素，故，错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

∴②③正确.

故选：B.

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.

【详解】由函数解析式有意义可得

且，

所以函数的定义域是且，

故选：D.

4．若，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先根据二次不等式确定的取值范围，然后再根据必要不充分条件的定义进行判断即可

【详解】由，得或，

由于成立，推不出一定成立，

而成立，能推出一定成立，

故“”是 “”的必要不充分条件.

故选：B

5．下列结论中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】A和B需考虑代数的正负号问题，进而判断不等式是否一定成立；对于C根据已知条件判断是否同号即可；对于D，需考虑为小数或者负数情况.

【详解】，若，则，故A不一定成立；

，若，则，故B不一定成立；

由可知同号，因此，故C一定成立；

令，，，，，故D不一定成立.

故选：C

6．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】由题可得，然后根据对数的运算性质及概念即得.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

7．已知函数，集合，．记集合，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得后由交集的概念求解，

【详解】函数，若，则，解得

所以，

若，则，解得

所以，

则，

故选：C

8．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，分析可知点、关于直线对称，可得出的值，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.

【详解】设，作出函数与的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，

由图可知，点、关于直线对称，则，

且函数在上为增函数，

由，因为，解得，

所以，.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.

9．已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断．

【详解】由题意，设，，下面的均为整数，

则，，

，不是偶数时，，

，

故选：B．

二、多选题

10．下列图象中，表示函数关系的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数概念逐一判断即可.

【详解】解：根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，

对于A，当时，有两个值与其对应，不符合；

对于B，符合一个有唯一的对应，可表示函数关系；

对于C，符合一个有唯一的对应，可表示函数关系；

对于D，当时，有无数个值与其对应，不符合；

故选：BC.

11．下列命题中，假命题的是（    ）

A．的充要条件是 B．，

C．若，则，至少有一个大于1 D．，

【答案】ABD

【分析】通过特殊值判断A，B的正误；通过不等式的基本性质判断C的正误；利用命题的否定形式判断D 的正误．

【详解】解：对于A，当时，满足，但不成立，故A为假命题；

对于B，当时，，故B为假命题；

对于C，若，则，所以若，则，至少有一个大于1，故C为真命题；

对于D，，，故不存在，，故D为假命题．

故选：ABD.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．则下列命题中正确的是（    ）

A．，

B．若，，，则方程的解集为

C．对于任意实数，，是成立的充分不必要条件

D．设，则函数的所有零点之和为-1

【答案】BCD

【分析】对于A，根据高斯函数的定义，设，，求，根据参数的取值范围，可得答案；

对于B，根据高斯函数的定义，结合方程的求解，可得答案；

对于C，根据充分不必要条件，同A，设出表示，作差，可得充分性，举反例，可证必要性；

对于D，分是否为整数进行讨论，可得函数的性质，进而化简函数或研究其奇偶性，可得答案.

【详解】对于A，设，，则，所以，

因为，所以，所以，则，故A错误；

对于B，因为当时，，所以方程等价于，

又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立，即对任意，恒成立，

所以方程的解集为，故B正确；

对于C，设，，由，则，易知，

设，则，但，

故对于任意实数，，是成立的充分不必要条件，故C正确；

对于D，当为整数时，；

当不是整数时，设的整数部分为，小数部分为，则，当时，，则，此时，则，即，

故，则.

当为整数时，，令，解得，此时函数的零点为；

当不是整数时， ，

故函数为偶函数，则若存在零点，此时函数的所有零点之和为.

综上所述，函数的所有零点之和为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知集合，则实数的取值集合为______________．

【答案】

【分析】根据集合间的包含关系，得到元素与集合的关系，即可得到实数的取值集合.

【详解】解：集合，则

所以或.

所以实数的取值集合为：.

故答案为：.

14．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为______________．

【答案】

【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得.

【详解】设一次函数，

，

化简得：，

因为对任意，上式都满足，取和代入上式得：

，解得：，

所以.

故答案为：.

15．已知不等式的解集为，则不等式的解集为______________．

【答案】

【分析】根据题意结合韦达定理即可得出之间的关系，然后将分式不等式转化为整式不等式，即可求得结果.

【详解】因为不等式的解集为，

所以1和2是方程的两根，且，

由韦达定理可得

则不等式可化为，即

即，解得

所以不等式解集为

故答案为:

16．已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，都有，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【分析】根据函数奇偶性求得，再根据函数的单调性求参数范围即可.

【详解】根据题意，，则，

又是偶函数，是奇函数，则，故可得；

因为对于，都有，即，

故在单调递减；

当时，满足题意；

当时，要满足题意，则，解得；

当时，要满足题意，则，解得；

综上所述，的取值范围为：.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是要根据构造，属中档题.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)解一元二次不等式，利用集合并集的运算方法可求解;(2)根据若，结合数轴观察求解.

【详解】（1）由得解得，

所以，

因为，所以，即，解得，

所以，

所以.

（2）由(1)得，

由得

解得，所以，

因为，所以或，

解得或.

18．（1）计算：；

（2）已知，，试用，表示．

【答案】（1）；（2）

【分析】根据指数式与对数式的运算性质，可得答案.

【详解】（1）.

（2），由，则，且，即.

19．（1）当时，求函数的最小值；

（2）若正数 满足，求的最小值．

【答案】（1）14

（2）

【分析】（1）由，将函数构造基本不等式，利用基本不等式就可以求出函数的最小值；

（2）由 ，且满足，则有，即，所以

，再利用基本不等式就可以求出最小值

【详解】（1）由，所以，所以

当且仅当 即时，函数取到最小值14.

（2）由 ，且满足，则有，

即，

所以

当且仅当 ，即 时，

有最小值.

20．已知函数为上的偶函数．

(1)求实数的值；

(2)证明函数为上的增函数；

(3)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析.

(3)

【分析】(1)根据偶函数的定义即可求解;(2)利用函数单调性的定义证明;(3)利用函数奇偶性和单调性解不等式.

【详解】（1）由题可知,

即,即,

两边平方整理得,由于,所以.

（2）由(1)知，，当时，

，，

，

因为，，所以，，

所以

且，

所以，即，

所以为上的增函数.

（3）由 (2)可知，在上单调递增，且为偶函数，

所以在上单调递减，

由得，

，解得.

21．已知函数．

(1)若在上恒成立，求实数的值；

(2)若不等式组的解集中的整数解只有1，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数，使得的解集为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由，

【答案】(1)

(2)

(3)存在或

【分析】利用即可求出的值.

分类讨论即可得到的范围.

假设存在利用韦达定理即可求得的值.

【详解】（1）由已知在上恒成立，所以

即，故

（2）因为，所以

因为解集中的整数解只有1，故

故

又因为解集中的整数解只有1，

所以的取值范围为

（3）假设存在实数，使得的解集为成立

，即

解集为，

所以 将代入

整理得

得或，故或

所以存在或符合题意.

22．已知函数．（其中）

(1)若在上有两个零点，求实数的值；

(2)若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，分、结合二次函数的性质说明函数的单调性，即可得到函数在上必有一个零点，要使函数在上有两个零点，只需，解得即可；

（2）依题意可得，，对分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：，

当时，

因为，所以对称轴，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，对称轴，开口向下，

所以函数在上单调递增，且，所以函数在上必有一个零点，

要使在上有两个零点，则，解得或（舍去），

即当时在上有两个零点.

（2）解：因为对任意，使得恒成立，

所以，，

当，即时在上单调递增，

则，，则，满足条件；

令，即，解得，

当，即时在上单调递增，在上单调递减，

且，

所以，，

所以，令，解得，

综上可得时；

令，解得或，显然，

当，即时，则在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，，

此时，，

当时，此时，符合题意，

当时，此时，

令，解得，所以，

综上可得时均满足对任意，使得恒成立，

即实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．