2022-2023学年江苏省盐城市射阳中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市射阳中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据常用数集的范围判断即可.

【详解】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错；

表示正整数集，0不是正整数，故B正确；

Q表示有理数集，不是有理数，故C错；

R表示实数集，是实数，故D错.

故选：B.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.

故选：B.

3．的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】，

故选：B

4．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用基本不等式判断.

【详解】对于A，若，则满足，且，而，所以A错误，

对于B，若，则满足，且，而，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确，

对于D，若，则满足，且，而，所以D错误，

故选：C

5．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合，然后根据并集的定义运算即得.

【详解】因为，，

所以.

故选：D.

6．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据恒成立求出的范围,根据选项选出它的必要不充分条件即可.

【详解】解:由题知,不等式,恒成立,

只需,故,

则选项是的必要不充分条件,

即真包含于选项中,所以选D,

故选:D.

7．若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由存在性命题的否定为真可得全称命题，将问题转化为对恒成立，利用基本不等式可求得的取值范围，由此可得可能的取值.

【详解】原命题为假命题，其否定：，为真命题，

即，，

又（当且仅当，即时取等号），

的取值范围为，则选项中可能的取值为.

故选：A.

8．命题：关于的方程有两个相异负根；命题.若这两个命题有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别将命题及命题作为真命题求出的取值范围，命题及命题作为假命题的取值范围为命题及命题作为真命题求出的的取值范围的补集，然后根据命题一真一假列出不等式组即可得到答案.

【详解】若命题：关于的方程有两个相异负根为真命题，

则解得；

若命题为真命题，

则，解得；

又因为这两个命题有且仅有一个为真命题，

所以或，解得或，

即的取值范围为.

故选：C.

二、多选题

9．下面说法中，正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断

【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；

表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；

集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；

由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．

故选：ACD．

10．（多选）下列命题中为真命题的是（    ）．

A．“”是“”的既不充分又不必要条件

B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件

C．“关于x的方程有实数根”的充要条件是“”

D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件

【答案】AC

【分析】从“”与“”互相不能推出，得到A正确；

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，故B错误；

由一元二次方程根的判别式可知，C正确；

D选项可举出反例.

【详解】

故选：AC

11．命题“∀1≤x≤3，－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10

【答案】BC

【分析】由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.

【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.

故选：BC

12．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（    ）

A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润

C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润

【答案】BC

【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.

【详解】当时，，

故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；

，

当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.

故选：BC.

三、填空题

13．若“关于x的方程的解集是空集”为真命题，则k的值为___________.

【答案】1

【分析】根据方程的解为增根即可求解.

【详解】关于x的方程的解集是空集，即此方程无解，由得，解得，只有当，即时，此方程无解.

故答案为：

14．设，若，，则集合______．

【答案】

【分析】根据集合的运算逐步分析出两个集合的元素，即得解.

【详解】解：因为

因为

因为,

如果,则与已知矛盾，所以.

所以.

故答案为：

15．若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集

【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，

故不等式的解集为．

故答案为：

16．已知为正实数，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.

【详解】由题得，

设，则.

当且仅当时取等.

所以的最小值为6.

故答案为：6

四、解答题

17．已知集合，或.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据并集的定义计算可得；

（2）根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】（1）解：因为，或，

所以或.

（2）解：因为或，

所以，

所以.

18．（1）设不等式的解集为，求集合；

（2）若不等式的解集为，求的值.

【答案】（1）或；（2）

【分析】（1）把分式不等式等价的转化为二次不等式，再解一元二次不等式即可．

（2）由题意得，，3是方程的两根，代入得到方程组，求得，，即可得解；

【详解】解：

（1）不等式等价于，解得或，

所以或．

（2）由题意可得、是方程的两根，

所以，解得，，

所以.

19．已知.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解分式、一元二次不等式求集合，应用集合并运算求；

（2）根据集合的包含关系可得，进而可得参数范围.

【详解】（1）若

所以.

（2）由，

所以，故，

所以实数的取值范围是.

20．已知､是一元二次方程的两个实数根．

(1)若､均为正根，求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)不存在；理由见解析

【分析】（1）根据二次方程判别式大于等于0，且两根之和与之积均大于0列式求解即可；

（2）根据（1）中韦达定理，化简代入韦达定理求解，再判断是否满足判别式关系即可.

【详解】（1）由题意，一元二次方程有两个正根､故，即，且，解得：．

（2）由题意，当，即时，有

解得：，与矛盾.

故不存在实数k，使得成立

21．设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是

【答案】证明见解析

【分析】先证明充分性，利用可得，代入两个方程进行求根，发现有公共根；再证明必要性，先把公共根假设为，代入两个方程，两式相减能得到，再因为，所以可以整理得，即

【详解】解：充分性：

因为，

所以方程可化为，

所以，所以，

所以该方程有两个根，

同理，另一方程可化为，

所以，所以，

所以该方程有两个根，

可以发现，所以这两个方程有公共根；

必要性：

设是两方程的公共根，所以，

由①②得：，

若，①式得到即与三角形的边长矛盾，所以，

所以，

代入①式得，整理得，

所以；

综上所述，方程与有公共根的充要条件是.

22．定义：为区间的长度.己知，且满足.

(1)若，且，求区间的长度；

(2)若对恒成立，求区间长度的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可得，代入消去得到的方程，解出即可；

（2）根据柯西不等式得到，用替换，把看成整体求解一元二次方程即可得到的最大值和最小值，即可求出、的取值范围，从而求出，，即可得解．

【详解】（1）解：因为，所以，

又，所以，所以，

所以，解得，

所以或，

又，所以，，

所以区间的长度为；

（2）解：因为，所以，

因为，，

所以，当且仅当时取得等号，

所以，即，

解得，

所以的最大值是，最小值是，

又恒成立，所以，，

即，，

所以区间的长度的最小值为．