2022-2023学年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学校高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的补集和交集的运算公式进行计算即可.

【详解】因为，，，，

所以，

所以.

故选：B

2．如果，则正确的是（    ）

A．若a>b，则 B．若a>b，则

C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A:取则，故A错，

对于B:若，则，故B错误，

对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，

对于D:若，则，，故D错误.

故选：C

3．下列四组函数中，与不相等的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】D

【分析】利用相等函数的概念，通过定义域、值域，对应关系等方面进行判断.

【详解】D项中，的定义域为解得或，的定义域为解得，定义域不相同

故选：D

4．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分母不等于零，偶次被开方式大于等于零，可得结果.

【详解】由题意可得，，解得，且，

即定义域为，

故选：B

5．已知函数，且，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】计算出的值，然后分和解方程即可得解.

【详解】，.

当时，，此时关于的方程无解；

当时，，由可得，解得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查分段函数方程的求解，考查计算能力，属于基础题.

6．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为

A．26米 B．28米 C．30米 D．32米

【答案】B

【分析】利用配方法求得的最大值，也即烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度.

【详解】依题意，故当时，.

故选B.

【点睛】本小题主要考查二次函数最大值的求法，考查函数在生活中的应用，属于基础题.

7．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ）

A．（－∞，－2）∪（0，2） B．（－2，0）∪（2，＋∞）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－2，0）∪（0，2）

【答案】C

【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可.

【详解】因为奇函数在上单调递减，且，

所以函数在上单调递减，且，

所以当，，，满足，

当，，，不满足，

当，，，不满足，

当，，，满足，

综上：的解集为.

故选：C

8．下列说法正确的是（    ）

①.不等式的解集为

②.函数的单调递减区间是

③.若，则函数的最小值为2

④.当时，不等式恒成立，则的取值范围是（0，4）

A．①② B．① C．②③ D．③④

【答案】B

【分析】根据不等式的解法判断①；根据复合函数的单调性判断②；根据基本不等式判断③；根据一元二次不等式恒成立列出不等式组，解之即可判断④.

【详解】①：由，得，故①正确；

②：由题意知，，解得，

函数，在上单调递增，在上单调递减，

而函数在上单调递增，

所以函数的单调递减区间为，故②错误；

③：，得，

当且仅当即时取等号，

但，所以等号取不到，故③错误；

④：当时，，不等式成立，

当时，由不等式恒成立，得，解得，

所以，故④错误；

故选：B.

9．给出下列命题，其中错误的命题有（    ）个

①若函数的定义域为，则函数的定义域为；

②函数，则

③已知函数是定义域上减函数，若，则；

④函数在定义域内是减函数

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据抽象函数的定义域的求法判断①；根据换元法求函数解析式判断②；根据减函数的定义判断③④.

【详解】①：由题意知，，对于函数，，

解得，即函数的定义域为，故①错误；

②：令，则，

所以变形为，

即，故②正确；

③：因为函数是定义域上的减函数，且，所以，故③正确；

④：由幂函数的性质知，函数在和上单调递减，不是减函数，故④错误.

故选：B.

10．函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]

【答案】D

【分析】由函数的单调性可求解．

【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，

则，解得．

故选：D．

11．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】由题意化为，利用基本不等式求出的最小值，再解关于的一元二次不等式即可．

【详解】解：，，且，

，

，

当且仅当时取“”；

若恒成立，

则，

即，

解得，

实数的取值范围是，．

故选：C．

12．设，若是的最小值，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式可求得在上的最小值，结合已知条件可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】当时，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立；

当时，由于，则，

由题意可得，即，解得，故.

因此，实数的取值范围是.

故选：A.

二、填空题

13．若命题，则p的否定为_____________．

【答案】

【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定作答.

【详解】命题，则命题p是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以p的否定是：.

故答案为：

14．已知集合，，，则__________．

【答案】或或

【分析】根据集合间的运算结果可得集合间关系，分情况讨论集合中元素的情况可得解.

【详解】由，得，

所以，且，

当时，，，成立；

当时，或或（舍），所以，或，，均成立，

综上所述，或或；

故答案为：或或.

15．已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围__________．

【答案】或

【详解】根据二次函数的单调性知：在上为减函数，在上为增函数，因为函数在区间上具有单调性，或解得或实数的取值范围是或，故答案为或.

16．已知函数下面四个结论：

①对，都只有唯一与之对应；②对，都有两个不同的与之对应；

③对，都有三个不同的与之对应；④，有四个不同的与之对应；

其中正确结论的序号是____________.（把你认为正确的结论的序号都填上）

【答案】②③

【分析】由分段函数的特点，得出对应取值范围的的取值，并画出草图，从而判断4个结论的正确与否.

【详解】解：由题意知：当时，，

当时，，则，且图象不过点,图象最低点为 .画出分段函数的草图：

当时，有两个不同的与之对应，所以①错；

当时，点取不到，有两个不同的与之对应，所以②正确；

当时，，所以当时，有两个值，，有3个不同的与之对应，所以③正确；

观察图象，，最多有3个不同的与之对应，所以④错误.

故答案为：②③.

三、解答题

17．已知集合，．

(1)时，求及；

(2)若时，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先求出集合，，，然后结合集合的交、并运算求解即可；

（2）由，得，然后结合集合的包含关系对B是否为空集进行分讨论，即可求解．

【详解】(1)∵由，得

由题可知

∴或

∴

∴；

(2)∵，

∴

分两种情况考虑：

时，，解得：

时，则，解得：

所以a的取值范围为．

18．已知为上的奇函数，当时，．

(1)求；

(2)求的解析式；

(3)画的草图，并通过图象写出的单调区间．

【答案】(1)0

(2)

(3)作图见解析，增区间为和，减区间为

【分析】（1）利用奇函数，直接代入求得；

（2）利用代入法求出x<0时的解析式，即可得到的解析式；

（3）先作出的图象，利用图象法求出单调区间.

【详解】(1)因为为上的奇函数，当时，，

所以.

(2)因为为上的奇函数，所以.

令x=0得：，所以.

任取，则.

所以.

由，所以.

综上所述：

(3)作出的图象如图所示：

从图象可以看出：的增区间为和，减区间为.

19．已知函数.

(1)若，判断的奇偶性并加以证明.

(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；.

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明；

（2）根据函数单调性的定义即可证明，从而.

【详解】(1)，定义域为，

， ，

则有，

故函数是奇函数.

(2)当时, ,

设，且，

则

，

因为，所以，，

即，所以，

所以函数在上单调递增，

所以.

20．已知二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)设，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式.

（2）写出解析式，讨论二次函数对称轴位置，确定的最小值.

【详解】(1)设，因为，所以，则，因为，

所以，解得

故解析式为：

(2)，

化解可得：，由此可知对称轴为

当，即时，

当，即时，

当，即时，

故

21．今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.

(1)求的表达式；

(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.

【答案】(1)；

(2)当时，费用取得最小，最小值为75万元.

【分析】(1)根据距离为1km时隔离病房建造费用为100万元，求出k的值，由此可得的表达式；

(2)由(1)可得，利用基本不等式计算即可求解.

【详解】(1)由题意知，距离为1km时，隔离病房建造费用为100万元，

所以，得，

所以；

(2)由(1)知，

，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，函数取到最小值75万元，

所以隔离病房与药物仓库距离5km时，可使得总费用最小，最小值为75万元.

22．已知函数

(1)解关于x的不等式；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围

(3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)当时，解集为，当时，解集为；

(2)；

(3).

【分析】（1）由不等式转化为，分，，讨论求解；（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解；

（3）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】(1)因为函数，

所以，即为，所以，        

当时，解得，当时，解得，当时，解得，             

综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为

(2)因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立，

当时，恒成立，

所以对任意的时，恒成立，            

令，当且仅当，即时取等号，

所以，所以实数a的取值范围是

(3)当时，，因为，所以函数的值域是，

因为对任意的，总存在，使成立，

所以的值域是的值域的子集，             

当时，，则，解得

当时，，则，解得，

当时，，不成立；

综上，实数m的取值范围.