2022-2023学年陕西省榆林市第十中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省榆林市第十中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由一元二次不等式可得，再由交集的定义即可得解.

【详解】由题意，，

，

∴.

故选：C.

2．若一元二次函数的图像关于直线对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】二次函数的对称轴方程为.

【详解】由已知得，，

∴m=-2

故选：A.

3．命题“对任意的，”的否定是（    ）

A．对任意的， B．存在，

C．存在， D．存在，

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定格式解题.

【详解】命题“对任意的，”的否定是

存在，.

故选：C.

4．不等式0的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据分式不等式的求解步骤，等价转化整式不等式，结合二次不等式，可得答案.

【详解】分式不等式0等价于，即0，解得，

故不等式>0的解集是.

故选：D.

5．函数的图象是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】化函数为分段函数，再根据各段函数式的特点即可判断作答.

【详解】依题意，原函数化为： ，其定义域为，

显然当时，图象是经过点的直线在y轴右侧部分，

当时，图象是是经过点的直线在y轴左侧部分，

根据一次函数图象知，符合条件的只有选项C.

故选：C

6．若，则函数与的图像可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据参数的大小，确定函数的单调性.

【详解】∵  ∴a-1<0

∴函数过点(0,1)，且单调递减；

，开口向下.

故选：D.

7．设，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据指数幂的运算法则，化简，，，再结合指数函数的单调性，即可比较，得到答案.

【详解】根据指数幂的运算法则，可得，，，

又由函数在上是单调递增函数，所以，即.

故选：B．

【点睛】本题主要考查了指数幂的运算性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练利用指数幂的运算公式化简，结合指数函数的单调性进行比较是解答的关键，注重考查推理与运算能力.

8．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

【答案】B

【详解】根据题意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，

又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．

9．已知函数，则的值为（    ）

A．或0 B． C．0 D．

【答案】D

【分析】求分段函数的值，已知x的值，从内向外逐层求解即可.

【详解】∵  ∴

∴.

故选：D.

10．已知定义在R上的奇函数，满足恒成立，且，则的值为

A．-1 B．1 C．2 D．0

【答案】D

【解析】由知周期为4，利用周期转化函数值，再利用奇函数的性质即可求解.

【详解】，

，

是R上的奇函数，

，

，

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇函数的性质，属于中档题.

二、多选题

11．已知定义在上的偶函数，它在上的图象如图所示，则该函数（    ）

A．有两个单调递增区间 B．有三个单调递减区间

C．在其定义域内有最大值7 D．在其定义域内有最小值

【答案】AC

【分析】根据题意补全函数的图象，进而观察图象求得答案.

【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示．由图象可知该函数有两个单调递增区间，两个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值．

故选：AC．

12．定义为不大于x的最大整数，对于函数有以下四个结论，其中正确的是（    ）

A．

B．在每一个区间上，函数都是增函数

C．

D．的定义域是R，值域是

【答案】ABD

【分析】A，C选项直接代入，求解验证即可；

B选项，时，有，可求出f(x)的解析式；

D选项，由已知得，f(x) 在每一个时，值域相同，可只求解上的值域即可.

【详解】A选项：，所以；

B选项：时，有，此时，显然是增函数；

C选项：由已知，，；

D选项：显然的定义域是R，

由B得，时，，

即在每一个区间上值域相同，

又时，值域为.

故选:ABD.

三、填空题

13．当时，函数的最小值是___________.

【答案】7

【分析】变形凑出定值，然后由基本不等式得最小值．

【详解】因为，所以，

，

当且仅当，即时等号成立．

故答案为：7．

14．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式为______．

【答案】

【分析】根据函数图象的平移法则：上加下减，左加右减.即可得到.

【详解】把抛物线向左平移2个单位，得到的图象，

再向上平移2个单位得到的图象.

故答案为：.

15．给出函数，则的值域为________．

【答案】

【分析】当时，结合指数函数的性质，求得值域为，当时，得到是以1为周期的周期函数，求得值域也为，即可求解函数的值域.

【详解】由题意，函数，

当时，，即值域为；

当时，函数满足，可得函数是以1为周期的周期函数，

所以其值域也为,

综上可得，函数的值域为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的周期性，以及函数的值域的求解，其中解答中合理应用指数函数的性质，以及函数的周期性求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

16．已知函数是减函数，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】分段函数具有单调性，应满足：①在各段上具有相同的单调性；②端点处的函数值应满足要求.

【详解】由已知，f(x)在以及x>1上分别单调递减，且f(1)=3.

要使函数是减函数，

则应满足，x>1时， f(x)=-2x+a<3恒成立.

只需要，，即.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数是幂函数，且在区间上单调递增，求m的值．

【答案】

【分析】根据幂函数的一般形式，列出关于m的方程，解出m的值，代入检验即可.

【详解】∵函数是幂函数，

故，解得m=0或m=-3

又函数在区间上单调递增，

则，所以．

18．已知命题p：实数x满足；命题q：实数x满足．

(1)当时，若p和q均为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入m，根据命题的真假，列出不等式组求解；

（2）根据已知，得出p，q范围的大小，转化为集合之间的包含关系，即可解出m的取值范围．

【详解】（1）由，解得，

即p：．

当时，不等式可化为，

解得，即q：，

若p和q均为真命题，则,

所以，即实数x的取值范围为．

（2）由（1）可得，p：．

解不等式可得，

即q：．

因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集，

因此只需，且等号不能同时取得，

解得，即实数m的取值范围是．

19．已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式.

【答案】

【分析】设，由可求得；由可构造方程组求得，由此可得.

【详解】由题意可设：，

由得：；

由得：，

整理可得：，

，解得：，.

20．已知关于的不等式：

（1）若不等式的解集为，求的值；   

（2）若不等式的解集为，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题可知和1是方程的两个实数根，利用韦达定理即可求解；

（2）可知成立，时，利用判别式进行求解.

【详解】（1）因为关于的不等式：的解集为，

所以和1是方程的两个实数根，

由韦达定理可得:，得．

（2）因为关于的不等式的解集为．

当时，-3<0恒成立.

当时，由，解得：

故的取值范围为．

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．已知函数是上的奇函数.

（1）求的值；

（2）先判断的单调性，再证明之.

【答案】(1)1；(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）特值法：利用R上的奇函数满足f（0）＝0，即可求得m值；

（2）利用函数单调性的定义证明．

【详解】（1）因为函数是R上的奇函数，故有f（0）＝0，即m﹣＝0，解得m＝1，经检验，满足题意．

（2）在上单调递增，

证明：任取，，且，则.

∵，∴，∴，故在上单调递增.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性、用定义法证明函数的单调性，准确理解相关定义是解决本题的基础，属于基础题．

22．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.

（1）设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

（2）求矩形BNPM面积的最大值.

【答案】（1）；（2）48.

【分析】（1）利用三角形相似，可得函数得解析式与定义域；

（2）表示出面积，结合二次函数得性质即可求出最大值.

【详解】解 （1）如图所示，延长NP交AF于点Q，

所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.

在中， ，所以.

所以，定义域为.

（2）设矩形BNPM的面积为S，

则，开口向下，且对称轴为，则在上单调递增，所以当x＝8时，S取最大值48，所以矩形BNPM面积的最大值为48.