2022-2023学年上海市高桥中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市高桥中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合后可逐项判断正误.

【详解】，，而表示函数图象上所有点的集合.

故，而为的真子集，，

故选：A

2．直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过（    ）

A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤

【答案】D

【解析】根据幂函数的性质即可求解.

【详解】解：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴，

，

在的左侧位于左侧，故经过⑤，

在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴，

在的右侧位于上方的下方，故经过①.

故选：D.

3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：

A．10% B．20% C．50% D．100%

【答案】B

【分析】根据题意，计算出的值即可；

【详解】当时，，当时，，

因为

所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，

故选：B.

【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.

二、多选题

4．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A．为定值

B．的最小值为

C．的最大值为

D．无最小值

【答案】ABD

【分析】根据一元二次不等式的解可得，进而代入选项中，结合基本不等式以及二次函数的单调性即可求解.

【详解】由于的解集为，所以，

因此，故A正确，

，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确，

，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，

在单调递增，由于，故无最小值，故D正确，

故选：ABD

三、填空题

5．己知集合，若，则a的值是____________．

【答案】.

【分析】根据得到方程，求出a的值.

【详解】因为，所以，解得：，经检验均满足题意.

故答案为：.

6．将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为______.

【答案】

【分析】利用函数的图象变换可得出新函数的解析式.

【详解】将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为.

故答案为：.

7．设且，则“”是“”成立的____________条件（填：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）

【答案】充要

【分析】利用不等式的性质及充要条件的判断依据即可求解.

【详解】由不等式的性质知，若，且，则成立，

若，且，则成立，

所以设且，则“”是“”成立的充要条件.

故答案为：充要.

8．已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【分析】由题知是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.

【详解】解：因为“”是“”成立的必要不充分条件，

所以是集合的真子集，

所以，解得，

所以，实数的取值范围是.

故答案为：

9．命题“己知，若，则或”，用反证法证明时，应假设____________．

【答案】

【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.

【详解】对于命题：“己知，若，则或”，

用反证法证明时应假设：若.

故答案为：.

10．关于的二元一次方程组的解集为，则实数k的值为____________．

【答案】2

【分析】利用代入消元法，结合方程组无解，即可求得参数值.

【详解】将代入可得，即，该方程无解，故.

故答案为：2.

11．己知幂函数，则实数m的值为____________．

【答案】1

【分析】根据幂函数的定义可求实数m的值.

【详解】由题设可得，解得，

故答案为：1.

12．已知全集为R，若不等式的解集为A，不等式的解集为B，则____________．

【答案】

【分析】求出集合、后可求.

【详解】，

，

故，，

故，

故答案为：

13．己知，且，若，则m的值为____________．

【答案】

【分析】将两边平方后可求m的值.

【详解】因为，则且，

故，故，

故答案为：

14．若关于的不等式无解，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【分析】分析可知，，，可得出，即可解得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，，，即，则，解得.

故答案为：.

15．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.

【详解】由得：，又实数x，y满足，

则，当且仅当，即时取“=”，

由解得：，

所以当时，取最小值8.

故答案为：8

【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.

16．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.

【详解】由函数单调递增，

①当时，若，有，

而，此时函数的值域不是；

②当时，若，有，而，

若函数的值域为，必有，可得．

则实数的取值范围为．

故答案为：

四、解答题

17．已知，求证：．

【答案】详见解析

【分析】两个式子作差，即可比较大小.

【详解】

因为，所以，

所以，

即

18．己知集合，且．

(1)若，求实数a组成的集合．

(2)若全集为A，，求m，a的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；

（2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a

【详解】（1），，由得，

当，则；

当，则；

当，则.

综上可得实数a组成的集合为；

（2）由全集为A，，即得，

∴，∴，∴.

综上，

19．已知m为实数，命题甲：指数函数在R上严格单调递增；命题乙：关于x的方程有两个不相等的负实数根．

(1)若甲为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若乙为真命题，求实数m的取值范围；

(3)若甲、乙都是假命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)或.

【分析】（1）根据函数的单调性可得，故可求参数的取值范围.

（2）根据韦达定理和判别式可求参数的取值范围.

（3）结合（1）（2）可求参数的取值范围.

【详解】（1）因为指数函数在R上严格单调递增，故即.

（2）关于x的方程有两个不相等的负实数根，

故，故.

（3）若甲、乙都是假命题，则或，

故或.

20．设，，已知集合，集合.

（1）若，求的取值范围；

（2）若时，，求的取值范围；

（3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围.

【答案】（1）  （2）  （3）

【分析】（1）分析可得，求解集合中不等式可得，由，列出不等式组即得解；

（2）由题意，集合B中一元二次不等式可因式分解为，分，，三种情况讨论，即得解；

（3）由题意，的区间长度应在内，分，两种情况分析，即得解

【详解】（1）若，与矛盾，故

由，得，

解得，因为，

所以，解得.

（2），

，

因为，所以，

①当时，∴，，此时，成立；

②当时，，若，则需满足

或，解得或；

③当时，，此时，成立.

综上.

（3）由题意，

，

∵中元素恰为3个，

∴的区间长度应在内，

∴，

①当时，.

②当时，，，此时成立，

综上所述.

21．定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:

(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；

(2)①求有序数组、、、的波动距离；

②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.

【答案】(1)函数的最小值为，此时的取值范围是.

(2)①；②.

【分析】（1）利用三角不等式可求得的最小值及其对应的的取值范围；

（2）①由题中定义可求得的值；

②利用题中定理可求得的最大值.

【详解】（1）解：由三角不等式可知，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，

由三角不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立.

因此，函数的最小值为，此时的取值范围是.

（2）解：①由题中定义可得；

②若、、、且，则，

当时，，

，

所以，

，即，

且有，

当取到最大值时，或，

同理或，

若，则，所以，，

故

，

当且仅当，，，时，等号成立，

所以，为的最大值；

若，则，所以，，

同理可知为的最大值.

综上所述，的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的应用，求解的最大值在于确定、的大小关系，确定这两者为四个数的最大值和最小值，结合题中定理进行求解.