2022-2023学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合,则集合中元素的个数是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，

∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；

当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；

当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；

∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．

故选C．

2．有四个命题：

①若，则；②若，则；③若，则；④若且，则.其中正确命题的序号是（    ）

A．①③ B．②④ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】对于①②，举例判断，对于③，解分式不等式判断，对于④，利用不等式的性质判断.

【详解】对于①，当，时，，所以①错误，

对于②，若，则，所以②错误，

对于③，由，得，，得，所以③正确，

对于④，因为，所以，因为，所以，所以④正确，

故选：C

3．“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不属于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命题的个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】试题分析：原命题为假则它的否定为真，故（4）为真命题，“的元素不都是的元素”又说明“中有不属于元素”故（2）正确，选B.

【解析】命题的否定.

4．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（    ）

A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集

B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集

C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集

D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集

【答案】B

【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．

【详解】解：对于集合，，

可得当，即，可得，

即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误

当时，，，

可得是的子集；

当时，，且，

可得不是的子集，故A错误．

综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．

故选：B.

二、填空题

5．用列举法表示集合：是不大于10的正偶数}__________.

【答案】

【分析】根据题意直接列举即可

【详解】因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，

所以集合是不大于10的正偶数}用列举法表示为

，

故答案为：.

6．已知集合，，则____________

【答案】.

【解析】根据两集合都表示点集，联立对应的方程，即可求出结果.

【详解】因为集合表示直线上的所有的点构成的集合；

集合表示直线上的所有的点构成的集合；

由，

解得，

则集合.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求集合的交集，掌握交集的概念即可，属于较易题.

7．已知集合，全集，则图中阴影部分表示的集合为___________.

【答案】

【分析】求出集合，由图可知图中阴影部分表示的集合为，从而可求得答案.

【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合为，

由，得，

所以，

所以或，

因为，

所以，

故答案为：

8．二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表，

则不等式ax2+bx+c＜0的解集是______．

【答案】（-2，3）

【分析】由二次函数的部分对应值知函数的零点以及图象开口方向，由此写出不等式对应的解集．

【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值知，

x=-2时，y=0；x=3时，y=0；

且函数y的图象开口向上，

∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是（-2，3）．

故答案为：（-2，3）．

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．

9．“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】由题意可得是的真子集，求解即可.

【详解】因为“”是“”的必要非充分条件，

所以是的真子集，

所以．

故答案为：

10．已知集合，若，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】由于，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：

11．若，，则以、为根的一元二次方程可以是___________.（写出满足条件的一个一元二次方程即可）

【答案】

【分析】利用两数和的完全平方公式得到，再利用根与系数的关系写出一个满足条件的方程.

【详解】因为，，

所以

，

即该一元二次方程的两根之和为3，两根之积为2，

所以以、为根的一元二次方程可以是.

12．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.

【答案】

【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解

【详解】当时，，此时满足，

当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，

所以当集合有公共元素时，解得，

当集合有公共元素时，解得，

故的取值集合为.

故答案为：

13．若关于x的不等式（）的解集为，且，则a的值为___________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出a的值.

【详解】解：关于x的不等式（）的解集为，

所以，是一元二次方程的实数根，

所以，且，.

又因为，

所以，

又，解得.

故答案为：.

14．已知函数，记集合，,若，则的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】先求得集合A，求解集合B时对判别式与0的关系进行分类讨论即可得到的取值范围.

【详解】因为，当时，或，当时，，则或.

（1）时，或.

（2）时，有，

若，则 又因为，

故或.与矛盾.

若，若，得故时，；若，得，.

故.

若，即，.

综上所述：

故答案为：

15．在解决问题：“证明数集没有最小数”时可用反证法证明：

假设是中的最小数，则存在，

可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾，

所以数集没有最小数.

那么对于问题：“证明数集，并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且，其中的一个值可以是__________（用、表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.

【答案】 （答案不唯一）

【分析】方法1：利用不等式性质；

方法2：反证法以及不等式性质的就可以得出答案.

【详解】方法1：由不等式的性质有：，且，，所以

故答案为：

方法2：假设是中的最大数，则可以找到，，，且这与假设矛盾，所以数集没有最大数.

故答案为：

16．已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值为___________.

【答案】

【分析】先将的可能结果列出，然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合.

【详解】将表示为，可得如下结果：

，

其中为，都出现了次，所以若方程至少有三组不同的解，

则的取值集合为，

故答案为：

三、解答题

17．解关于的不等式.

【答案】答案见解析.

【分析】变形后得到一个含参的二次不等式，对参数进行分类讨论.

【详解】由，所以，则对应方程的根为：

①当时，即，此时不等式为，此时不等式的解集为，

②当时，即，此时不等式的解集为，

③当时，即，此时不等式的解集为，

综上所述：当时，解集为，

当，此时不等式的解集为，

当，此时不等式的解集为.

18．若，求证：方程和方程至少有一个方程有实数根.

【答案】见证明过程.

【分析】利用判别式来判断二次方程根的问题

【详解】证明：由方程得：      ①

方程得：        ②

又                         ③

①+②：

将③代入：

由此可知或至少有一个成立，也即是说

方程和方程至少有一个方程有实数根.

结论得证.

19．某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨，则每年的销售数量将减少，其中为正常数.

(1)当时，如何控制产品每吨的价格上涨范围，可使销售的总金额不低于11200万元?

(2)如果涨价能使销售金额增加，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得销售总金额，当时，由解得的范围，即可得解；

（2）由题意可得当时，，由此即可求得答案.

【详解】(1)解：由题设当价格上涨时，销售总金额，

当时，

，

令，解得，

所以产品每吨的价格上涨范围为时，销售的总金额不低于11200万元；

(2)解：如果涨价能使销售金额增加，

则当时，，

即，

所以，

又因为，所以，

即，解得，

所以的取值范围为.

20．已知一元二次方程，其中k、m、n均为实数.

(1)若方程有两个整数根，且k为整数，，求方程的整数根；

(2)若方程有两个实数根、，满足，且为最大的负整数，试判断是否成立?请说明理由.

【答案】(1)或；

(2)成立，理由见解析

【分析】（1）先把，代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列等式得出关于的等式，由根与系数的关系和两个整数根、得出和，再根据方程有两个整数根得，得出或，符合题意，分别把和代入方程后解出即可．

（2）化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．

【详解】(1)解：一元二次方程有两个整数根、，

且，时，

则，故，

把，代入原方程得：，

即：，

，且，

则或；

、是整数，、都是整数，

，，

为整数，

或，

把代入方程得：，

解得，

把代入得，

解得，

综上所述，方程的整数根为或；

(2)解：成立，理由是：

最大的负整数为，则，

∵且方程有两个实数根、，

，，

，

，

，

，

，

，

，①，

②，

把①代入②得：，

则，即，

∴成立．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式；注意：一元二次方程有两个整数根时，根的判别式为完全平方数．

21．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；

(1)求集合的生成集B；

(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；

(3)若集合，A的生成集为B，求证.

【答案】(1)

(2)或

(3)证明见解析

【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；

（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；

（3）求出的范围即可证明出结论

【详解】(1)由题可知，

(1)当时， ，

(2) 当时，，

（3）当或时，

所以

(2)（1）当时，，

（2）当时，

（3）当或时，

B的子集个数为4个，则中有2个元素，

所以或 或 ，

解得或（舍去）,

所以或.

(3)证明：，

，

，

，即

，

又，

所以，

所以