2022-2023学年上海市控江中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市控江中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，则是且的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】利用判断充分，必要条件的方向判断，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式证明.

【详解】当，说明与的距离小于，但与与的距离可以大于或等于，所以，不能推出且，反过来，当且时，

，即，所以且，能推出，所以是且的必要非充分条件.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解绝对值的几何意义，表示数轴上两点间距离，以及绝对值三角不等式.

2．若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据函数平移的规则得答案.

【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到

即

故选：B.

3．陈述句“任意的都满足性质”的否定形式是（    ）

A．任意的满足性质 B．任意的不满足性质

C．存在一个满足性质 D．存在一个不满足性质

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.

【详解】解：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题

故“任意的都满足性质”的否定形式是“存在一个不满足性质”

故选：D

4．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.

【详解】解：由题意得：

集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：

第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集；

在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射

设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为

故选：B

二、填空题

5．若全集，集合，则__________.

【答案】

【分析】根据补集的概念求解即可.

【详解】解：由题意得：

因为全集，集合

故

故答案为：

6．若集合为偶数，用列举法表示集合__________.

【答案】

【分析】直接用列举法写出集合即可.

【详解】因为集合为偶数

故列举法表示集合

故答案为：

7．若函数是自变量）是指数函数，则a的取值范围是_________

【答案】且

【解析】根据指数函数的定义求解．

【详解】函数是自变量）是指数函数解得：且．

故答案为：且．

【点睛】本题考查指数函数的定义，属于基础题．

8．若 ，则的最小值为________________．

【答案】

【分析】利用基本不等式求得最小值.

【详解】，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

9．若集合，则__________.

【答案】

【分析】联立解方程组即可得答案.

【详解】联立，解得

即

故答案为：.

10．计算：__________.

【答案】

【分析】利用以及计算即可.

【详解】

故答案为：

11．关于的不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】将分式不等式转化为整式不等式，再接二次不等式即可.

【详解】由得，即，

即，解得或

即不等式的解集为

故答案为：

12．已知，，则__．

【答案】72

【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.

【详解】由，

所以.

故答案为：72

13．若不等式的解集为，则实数的取值范围__________.

【答案】

【分析】分，，讨论二次不等式的解.

【详解】当时，不等式为，解集为；

当时，不等式为，解集不为；

当时，不等式的解集为，

则，解得或

综上所述：实数的取值范围是

故答案为：

14．设为实常数，.若是的必要非充分条件，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】先分类讨论解不等式，再通过是的必要非充分条件列不等式求实数的取值范围.

【详解】对于，

当时，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

综合得

即，

对于，变形得，

解得或

即：或

因为是的必要非充分条件

可得，解得

即实数的取值范围为

故答案为：

15．设为常数，关于的不等式的解集中有且仅有两个整数解，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】先求出不等式的解集，通过解集可确定仅有的两个整数解为，进而可通过在解集中，3不在解集中列不等式求出的取值范围

【详解】由整理得

由题知，解得，

解不等式得，

又，

所以解集中有且仅有两个整数解为

于是，解得

故答案为：

16．已知集合，若且，则满足条件的正整数的个数为__________.

【答案】

【分析】根据题意，进而结合若且求解即可.

【详解】解：注意到，集合表示的是4位7进制数的集合，

在4位7进制数中，最小的4位7进制数为，即，

最大的4位7进制数为，即，

所以，集合

因为且，

所以，

所以，满足条件的正整数的个数为.

故答案为：

三、解答题

17．已知是幂函数，

(1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，定义域为

(2)或

【分析】（1）设，代点计算可得表达式，进而可得定义域；

（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.

【详解】（1）设，代入点得，解得

即，其定义域为

（2）由幂函数的性质可得，函数的定义域为，且在定义域上单调递减，

，

，

解得或.

18．已知是方程的两个实根，

(1)设，用表示的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用韦达定理求，代入计算即可；

（2）利用指数函数的单调性将不等式转化为对数不等式，再利用对数的运算性质求解即可.

【详解】（1）是方程的两个实根，

由韦达定理可得，

若，

则

即；

（2），即，

因为函数是上单调递增函数，

即关于的不等式的解集为

19．学校计划将花坛改造为一个容积为8长方体无盖喷泉池，池底每1的造价为120元，池壁每1的造价为100元，

(1)若池底周长为12，设矩形池底的一条边长为x，现要求池深不超过1，问池底的边长x应控制在什么范围内？

(2)若深为0.5，问怎么设计喷泉池底能使总价最低，最低总价是多少？

【答案】(1)内

(2)当喷泉池底为边长为4的正方形时，总价最低，最低为元

【分析】（1）根据条件用表示出，然后利用列不等式求解即可.

（2）设设计喷泉池底的总价为，池底一边长为，则另一边长为，根据条件表示出总价，然后用基本不等式求最值.

【详解】（1）由已知，池底一边长为，则另一边长为，设池深为，，

则，

解得

池底的边长x应控制在内；

（2）若深为0.5，设设计喷泉池底的总价为，池底一边长为，则另一边长为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当喷泉池底为边长为4的正方形时，总价最低，最低为元

20．记代数式，，

(1)若，求使得代数式有意义的实数的集合；

(2)若时，代数式对任意的均有意义，求实数的取值范围；

(3)若时，存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围.

【答案】(1)或；

(2)；

(3).

【分析】（1）由对数函数定义域得到，平方后求出实数的集合；

（2）转化为在R上恒成立问题，利用绝对值三角不等式得到，从而得到，求出实数的取值范围；

（3）先根据得到，结合，对端点值的大小进行分类讨论，结合绝对值的几何意义求解，得到实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

要想代数式有意义，则，则，

两边平方得：，解得：或；

故实数的集合为或；

（2），即，

要想代数式对任意的均有意义，则在R上恒成立，

即在R上恒成立，

其中，

因为，所以的解集为，

故当且仅当时，等号成立，

所以，解得：或，经检验，符合题意，

故实数的取值范围是；

（3），

存在实数使得代数式有意义，即存在使得

，

解②得：，

由第二问知：恒成立，当且仅当时，等号成立，

当，即时，此时当时，取得最大值，且，且，

故，解得：或，

与取交集得；

当，即时，此时当时，取得最大值，且，

故，解得：或，

与取交集后，结果为；

当，即时，此时上任一点到的距离之和相等，为，故，解得：或，

与取交集后，结果为；

当，即时，此时当时，取得最大值，

故，即，由于，无解；

综上：实数的取值范围是.

21．对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域.

(1)证明整数集不是数域；

(2)判断集合是否为数域，并说明理由；

(3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)集合是数域，证明见解析

(3)均为数域，证明见解析

【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明；

（2）集合是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可；

（3）均为数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可.

【详解】（1）证明：任取，且互质，那么一定是分数，即，故根据数域的概念得整数集不是数域.

（2）解：集合是数域，理由如下：

①当或时，则，则至少有两个非零元素；

②当时，，则；

③取，

则，又，所以；

，又，所以；

，又，所以；

，又，所以，

综上，集合是数域.

（3）解：均为数域，理由如下：

为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，任取，则，

由于为个数域，则，；，

所以，则，同样，则，，则，所以为数域；

又，则，同样，，，故，则也为数域.