2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（    ）

A．若a>b，c≠0，则ac>bc B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b D．若a>b，则

【答案】C

【分析】根据不等式性质逐一判断选项，即得结果.

【详解】若a>b，c<0，则ac>bc,所以A错误；

若a>b，c=0则ac2=bc2,所以B错误；

若ac2>bc2，则c2>o,a>b，所以C正确；

若满足a>b，但，所以D错误；

故选：C

【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

2．己知a，b是整数，“是偶数”是“a和b都是偶数”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件

【答案】B

【分析】根据偶数的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】当是偶数时，显然满足，但是得不到a和b都是偶数，

当a和b都是偶数时，显然能得到是偶数，

故选：B

3．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可.

【详解】设幂函数为，

因为该幂函数得图象经过点，

所以，即，解得，

即函数为，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，所以排除B，

故选：A

4．若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将不等式的右边也变为以为底的对数形式，然后对讨论，利用对数的单调性解不等式即可.

【详解】解：由已知，

当时，不等式明显成立；

当时，，

综合得：实数的取值范围是，

故选：B.

二、填空题

5．已知集合，集合，则_________.

【答案】

【分析】直接根据交集的概念得结果即可

【详解】因为集合，集合

则

故答案为：

6．已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是_________.（用含A，B或，的集合语言表示）.

【答案】

【分析】根据韦恩图可知阴影部分表示的元素在集合中不在集合中，表示即可.

【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示的元素在集合中不在集合中，故图中阴影部分表示的集合是.

故答案为：.

7．16的4次方根是______.

【答案】±2

【分析】利用n次方根的定义求解.

【详解】16的4次方根是，

故答案为：±2

8．用列举法表示方程组的解集________

【答案】

【分析】解方程组，然后用列举法表示该方程组的解集即可.

【详解】解：，解得：，

用列举法表示方程组的解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查列举法的定义及表示，以及二元一次方程组的解法，考查了计算能力，属于基础题.

9．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式与对应方程根与系数的关系，求出与的关系，代入所求不等式，求出解集即可.

【详解】一元二次不等式的解集为，且是的两个实数根，由韦达定理得：，解得，所以不等式可化为，

即，解得或，所以所求不等式的解集为

故答案为：

10．函数的定义域为____________.

【答案】

【分析】根据对数的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】因为对数的真数为正实数，

所以有，

所以该函数的定义域为，

故答案为：

11．若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】直接根据指数函数的性质得答案.

【详解】由指数函数的性质可得

解得

故答案为：

12．已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标为_______________.

【答案】

【分析】根据指数的运算性质进行求解即可.

【详解】因为且，当时，，

所以该函数的图象过点，

故答案为：

13．已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ .

【答案】

【分析】分析函数在区间上为减函数，由已知条件可得出关于的等式，结合可求得实数的值.

【详解】因为，所以函数在区间上为减函数，

所以，，所以，，

因为，因此，.

故答案为：.

14．不等式的解集为，则实数k的取值范围为_______________.

【答案】

【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.

【详解】因为不等式的解集为，

所以有，

因此实数k的取值范围为，

故答案为：

15．b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________.

【答案】

【分析】盐水变咸了，即含盐的浓度增大了即可得出．

【详解】由题意可得

．

证明：当时，

故答案为：．

16．已知且，则的最小值为_______________.

【答案】

【分析】先由已知得到，变形展开计算，利用基本不等式求最值即可.

【详解】，

，

当且仅当，即时等号成立.

的最小值为

故答案为：

三、解答题

17．已知集合，集合.

(1)求集合A；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解分式不等式能求出集合A．

（2）求出集合，集合，由，得，列出不等式组能求出实数a的取值范围．

【详解】（1）集合

即；

（2）或，

集合，

∵，∴，

，

或，

解得或，

∴实数a的取值范围是．

18．（1）求的值；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）1；（2）2

【分析】（1）直接利用指数幂运算规则计算即可；

（2）先将指数式变为对数式，代入，利用换底公式及对数运算性质计算即可.

【详解】（1）

（2）由得

19．若，用反证法证明：和中至少有一个小于2．

【答案】证明见解析

【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立．

【详解】证明：假设，都不小于2，则

因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b,

则1＋1＋a＋b≥2（a＋b）

即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立

综上，中至少有一个小于2．

20．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

【答案】（1）时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）当时，该单位每月不亏损.

【分析】(1) 二氧化碳的每吨平均处理成本为,由均值不等式求得结果；（2）结合二次函数的性质以及题意得到结果.

【详解】（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

因为，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低;

（2）设该单位每月获利为S（元），则

即 ,

由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.

【点睛】本题考查函数模型的构建，考查学生的阅读能力，考查解不等式，同时考查基本不等式的运用，建立函数模型是关键．

21．若实数满足则称比接近.

(1)若比3接近0,求的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数,证明比接近

【答案】（1）；（2）见详解.

【分析】（1）根据题意，得到化简求解，即可得出结果；

（2）先根据是任意两个不相等的正实数，得到，，比较与大小，即可证明结论成立.

【详解】（1）由题意可得：即，所以，

即，解得; ，即的取值范围为；

（2）因为是任意两个不相等的正实数，

所以，

，

所以

显然恒成立，

因此，

由题意即可得：比接近

【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，以及绝对值不等式的证明，熟记不等式解法，以及直接法证明不等式成立即可，属于常考题型.