2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．

【详解】由题意可知，.当时，，，则排除A，B；

因为，，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，则C一定成立；

因为，，

所以，

所以.

因为，

所以，

所以，则排除D.

故选：C．

2．若，且，，则下列各式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析集合、的元素特征，再根据交集的定义、空集的定义以及集合的包含关系判断即可.

【详解】解：由，即集合的元素为集合的所有子集，

，即集合的所有子集组成集合，

因为，即与没有相同的元素，但是，，

即，，

所以，故B正确，A错误，D错误；

因为，，所以或，故C错误；

故选：B

3．设a，b，c均为正数，若一元二次方程有实根，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令判断A，令判断C，D；利用换元法和基本不等式进行证明B.

【详解】对于A，若令，则一元二次方程的，

，不成立，所以A不正确；

对于C，若令，则一元二次方程的，

，不成立，所以C不正确；

对于D，若令，则一元二次方程的，

，不成立，所以D不正确；

对于B，令 ．下面分两种情况证明B选项正确.

若，结论已成立．

若，则由，得．①

又，即，则由①得，

即．

解得或．

若，结论已成立；

若，则．结论亦成立．

综上所述，．

故选：B.

4．设，在上恒成立，则的最大值（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的特征，分别设，，，以及四种情况，讨论不等式恒成立时，先讨论的正负情况，再讨论恒成立，求的取值范围.

【详解】①当时，，，不成立，

②当时，恒成立，则恒成立，即，解得：，此时的最大值是；

③当时，恒成立，则，恒成立，即的最大值是；

④当时，恒立，则恒成立，即 ，恒成立，，解得：，此时的最大值是.

综上可知，的最大值是.

故选：A

【点睛】本题主要考察了函数恒成立问题，本题的关键是分类的标准，第一种情况比较简单，代入特殊值，即可说明不等式不成立，后几种情况，先说明恒成立，再根据恒成立，即可求的取值范围.

二、填空题

5．已知集合，则______.

【答案】或

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得，

所以，

所以或.

故答案为：或

6．设集合，若，则 __________．

【答案】{ 1，2，5}

【详解】试题分析：解：∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．

【解析】并集

点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．

7．化简______.

【答案】##

【分析】根据根式与分数幂之间的互化以及立方和公式即可求解.

【详解】，

故答案为：

8．不等式的解集为______.

【答案】

【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集.

【详解】解：不等式，即，

方程的根有（2重根），，，，（2重根），

按照数轴标根法可得不等式的解集为.

故答案为：

9．已知，，则用a，b表示的值为______.

【答案】

【分析】利用对数运算公式和换底公式计算即可.

【详解】

.

故答案为：.

10．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是________

【答案】

【分析】先求出不等式的解集，又设，则是的真子集，再求得的取值范围.

【详解】由不等式|x－m|<1，得，即其解集，

又设，由已知知是的真子集，

得（等号不同时成立） ，得.

故答案为：

【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了将充分不必要条件转化为集合的包含关系，属于基础题.

11．集合，，则______.

【答案】

【分析】分别计算求得集合，在按照交集运算即可得.

【详解】解：不等式变形为，所以或，解得或.

所以或

所以或.

故答案为：.

12．方程在上有实根，则实数k的取值范围是______.

【答案】

【分析】记，.在同一个坐标系作出和的图像，利用数形结合即可求解.

【详解】记，.

在同一个坐标系作出和的图像如图所示：

当时，；当时，.

所以方程在上有实根，则实数k的取值范围是.

故答案为：.

13．若对任意实数x都有，则a的取值范围为_______．

【答案】

【分析】由题意分类写出分段函数的解析式，求得函数的最小值，再由小于等于函数的最小值可得关于的不等式，求解得结论．

【详解】解：设，由恒成立，可得，

时显然成立；

当时，，

故，从而，解得，；

当时，，

故，从而，解得，．

综上，，．

故答案为：．

14．已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．

【答案】

【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.

【详解】因为对于一切实数恒成立，

所以，且，所以；

再由，使成立，

可得，所以，

所以，

因为，即，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：

15．已知均为正实数，且，那么的最大值为__________．

【答案】

【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可

【详解】因为均为正实数，所以由题可得：，即，，，三式相加得：，所以

所以的最大值为4

故答案为：4

16．已知，且满足，，则的最小值是______.

【答案】

【分析】首先求出，然后可得，然后求出的最小值即可.

【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，所以可得，

所以，

因为，

当且仅当即时等号成立，

所以，

故答案为：

三、解答题

17．（1）解不等式：

（2）解不等式：

【答案】（1）        （2）

【分析】（1）按照绝对值不等式分类讨论解不等式即可；

（2）按照不等式分类求解即可.

【详解】解：（1）当时，，不等式为，解得，所以解集为；

当时，，不等式为，解得，所以解集为；

当时，，不等式为，解得，所以解集为；

综上：不等式的解集为：.

（2）不等式，首先满足，所以或

当或时，不等式成立，符合；

当或时，不等式成立，则，所以，则解集为；

综上：不等式的解集为：.

18．设，，是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

【答案】不存在，理由见解析

【分析】根据，得，讨论中四个元素分别为1时，求的值，判断此时集合的元素是否符合集合与元素的关系，即可得结论.

【详解】解：，，若，所以

当时，即，所以，，，所以不符合集合中元素特点，舍去；

当时，即，舍去；

当时，即，此时无意义，舍去；

当时，，，此时，不满足，舍去.

故不存在实数a，使.

19．已知全集，，，且，求a的取值范围.

【答案】

【分析】由一元二次方程根的分布求解，

【详解】由得，而，

当时，由得，

当时，对于有，

则解得，

综上，a的取值范围是．

20．（1）已知，求y的最大值.

（2）设关于x的方程的两个非零实根为，，问是否存在m，使得不等式对任意的以及恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）1    （2）存在，

【分析】（1）令，所以，得，结合基本不等式求解最值即可；

（2）方程可化为，，可知方程有两不同的实根，，再由韦达定理建立得最值，若不等式恒成立，可转化为，都成立，再求最小值即可．

【详解】解：（1）已知，令，所以

则

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立

所以；

（2）方程可化为，

有两不同的实根，，

则，

，当时，

若不等式恒成立，

所以得，对都成立，，

设

若使时都成立，

则

解得：或，

所以的取值范围是.

21．（1）已知集合，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明）

（2）已知集合，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值.

【答案】（1）3    （2）7

【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解，

（2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得 满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解.

【详解】由题意知：，四元子集的个数一共有15个，如下， ，

要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2，

比如：

（2）由题意知：，三元子集的个数一共有35个，如下：

,

,

对,则 与中其他元素共构成6个含的二元数对，而在每个含的三元子集中，恰好含的有2个这种数对，

由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同，所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，

由于的元素个数不超过一个，故在含的三元数对中，，

由m的任意性，不妨取 ，包含1的三元集合不妨取满足，

去掉1，剩下6个元素为 ，分为3组：

若选这组中的2，则中可选一个数字4或5，则满足至多一个元素的三元集合还有，故,

故可取7.

由于，所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素，则这7个元素故总共出现的次数至多为

当时，每个三元集中的元素出现3次，那么所有的三元集中的元素出现次数为，则 ，这与总次数21矛盾，故，

故的最大值为7