2022-2023学年上海市市西中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市市西中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若,则下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵
∴设
代入可知均不正确
对于，根据幂函数的性质即可判断正确
故选D
2．若我们要用反证法证明：“当时，函数”，那么我们在证明开始前，应当假设（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反证法的概念直接判断.
【详解】由反证法的概念可知：
在证明开始前，应当假设.
故选：C
3．关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据三角不等式求的最小值，再解不等式即可.
【详解】因为恒成立，
所以有.
而，
当且仅当与异号，即时取等号.
所以，解得.
故选：D
4．已知全集为，对任意集合、，下列式子恒不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用特例法可判断ABC选项；证明出，可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，则对任意的集合，都有；
对于B选项，取，则对任意的集合，都有；
对于C选项，取，则；
对于D选项，先证明，
设为全集，、，、分别记为、在全集中的补集，
如图1所示，空白区域表示集合，
如图2表示，空白区域表示集合，
如图3所示，空白区域表示集合，
结合图1和图2可知，，
本题中，，所以，，显然是恒不成立的.
故选：D.
二、填空题
5．已知集合，若，则___________．
【答案】5
【分析】根据集合相等的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故答案为：5.
6．不等式的解集为________．
【答案】
【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】由题设，，
∴，解得，
∴解集为.
故答案为：
7．已知是方程的两根，则__________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】因为一元二次方程的判别式，
所以该方程有两个不相等的实数根，则有，
因此，
故答案为：
8．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
【答案】
【分析】根据，即可知恒过定点.
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
9．对数有意义，那么的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由对数的真数大于0即可求解.
【详解】要使对数有意义，
则，即，解得：或.
故的取值范围是：.
故答案为：.
10．已知命题，命题，若是的充分非必要条件，那么的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据充分非必要条件的定义，结合集合之间的关系进行求解即可.
【详解】因为是的充分非必要条件，
所以集合是集合的真子集，
因此有，
故答案为：
11．关于的不等式解集为，则实数_________．
【答案】1
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】由题可知，是方程的两根，
根据韦达定理可知：，解得：，
所以.
故答案为：1
12．记，则对数可用表示为___________．
【答案】
【分析】利用对数的运算性质和换底公式化简计算即可.
【详解】由，得，
因为，
所以，
故答案为：
13．关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，则有，合乎题意；
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14．已知幂函数，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据函数的定义域和单调性列不等式组即可求解.
【详解】,
，
且函数在上单调递增，
而，
，解得.
故答案为：
15．对于区间我们规定是这个区间的“长度”．已知都是集合的子集，，，则集合“长度”的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先由都是集合的子集，可得，，再由区间的长度分析可得集合长度最大不超过区间的长度1，最小不小于，再取，分析即得解.
【详解】由题意，，故，解得；
，故，解得；
由于，区间长度为2；
，故区间长度为1；
，故区间长度为；
故集合长度最大不超过区间的长度1，最小不小于，
又由于当时，，区间长度为1，取得最大值；
当时，，区间长度为，取得最小值；
故集合“长度”的取值范围是.
故答案为：
16．已知为正实数，且满足，，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】由得，，化简，设，根据的范围结合基本不等式即可求的取值范围.
【详解】，
，，
，
设，
，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
，
所以的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
17．已知集合，若，求实数的值．
【答案】
【分析】根据集合元素的互异性原则分类讨论即可.
【详解】分情况讨论：
①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则；
②若，则，，，
此时，符合题意；
③若，则或，
当时，，，不符合集合元素的互异性原则；
当时，，，不符合集合元素的互异性原则.
综上：.
18．设集合，若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】讨论a的范围，解含参一元二次不等式求集合B，由集合的包含关系及不同a对应的集合B，列不等式组求a的范围.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
由，而，
若，有（等号不同时成立），则；
若，显然成立；
若，有（等号不同时成立），则；
综上，.
19．20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，是我们平常所说的里氏震级，其计算公式为： ．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离所造成的偏差）
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震振幅是0.001，计算此次地震的震级．（精确到0.1级）
(2)5级地震给人带来的震撼已经比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1倍）
【答案】(1)4.3级
(2)398倍
【分析】（1）根据即可求解；
（2）计算出两次地震的最大振幅，相比即可.
【详解】（1）由题可知：
，
因此此次地震的震级约为里氏4.3级.
（2）由得，即，
当时，地震的最大振幅为，
当时，地震的最大振幅为，
所以两次地震的最大振幅之比为，
即7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的约398倍.
20．对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．
(1)对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2).
【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可；
（2）由条件可得，然后利用作差比较大小即可.
【详解】（1）有序数对是的“下位序列”；
,
是的"下位序列"；
（2）是的“下位序列”，
，
，，，均为正数，
∴，即，
，
又，
∴，
综上所述：.
21．已知函数．
(1)求将函数的图像进行怎样的平移，能够得到函数的图像？
(2)若函数在上是严格减函数，求实数的取值范围．
(3)将函数图像向右平移一个单位，得函数的图像，已知函数图像关于轴对称，且当时，它与函数的关系是．现已知关于的方程解集中有七个元素，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据函数图像平移的性质进行求解即可；
（2）根据反比例函数的性质，结合（1）进行求解即可；
（3）根据偶函数的性质，结合换元法、数形结合法、一元二次方程根的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以将函数的图像向左平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图像.
（2）函数的减区间为：，
因为函数的图像向左平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图像，
所以函数的减区间为，
因为函数在上是严格减函数，
所以有，因此实数的取值范围为；
（3）因为函数图像向右平移一个单位，得函数的图像，
所以，
当且时，因为函数图像关于轴对称，
所以有，
于是有，其图像如下图所示：
令，所以有，
因为关于的方程解集中有七个元素，
所以由上图可知：一元二次方程必有一个根为，另一个根大于，
所以有，或，
当时，，或，不符合题意；
当时，，或，符合题意，
所以.
【点睛】关键点睛：利用偶函数的性质、函数图像平移的性质，结合换元法、数形结合思想是解题的关键.