2022-2023学年上海市文建中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市文建中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，集合是，则（    ）

A． B．. C． D．

【答案】A

【分析】先求出，再根据交集的定义可求.

【详解】因为，，

所以，

故.

故选：A.

2．要得到函数的图象,只要将的图象(    )

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】利用函数的图象变换规律,即可求得答案.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,

可得函数的图象

将的图象向左平移个单位长度,即可得到

故选:A.

【点睛】本题考查三角函数图象变换,解题关键是掌握三角函数变换的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.

3．设为复数,则下列命题中一定成立的是(    )

A．如果,那么 B．如果,那么

C．如果,那么 D．如果,那么

【答案】C

【解析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.

【详解】对于A,取,时,,即,但虚数不能比较大小, ,故A错误;

对于B,由,可得,不能得到,故B错误;

对于C,因为,所以,故C正确;

对于D,取,,满足,但是,故D错误.

故选:C.

【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.

4．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性与单调性及函数的正负情况判断函数图象.

【详解】由，得，

所以函数为奇函数，故A选项错误；

又当时，，故C选项错误；

当时，，函数单调递增，且时，，故B选项错误，D选项正确；

故选：D.

二、填空题

5．已知集合，若，则实数=____

【答案】3

【详解】因为，所以．

6．已知函数，则___________.

【答案】10

【分析】求导代入即可求解.

【详解】由得,所以,

故答案为：10

7．函数的定义域为____________．

【答案】

【分析】根据被开方数是非负数，求解分式不等式即可求得结果.

【详解】要使得函数有意义，则，即，且，

解得，故的定义域为.

故答案为：.

8．已知复数，则____．

【答案】1－i

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】由（1+i）z=2，得，

故答案为1﹣i．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．

9．已知，，则___________.

【答案】

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，，

所以，

所以.

故答案为：

10．已知等差数列满足：，，则___________.

【答案】

【分析】由等差数列的通项公式转化为基本量进行计算即可.

【详解】设等差数列的公差为，则

解得，

∴.

故答案为：.

11．已知向量，，若向量∥，则实数________

【答案】

【分析】先由题意，得到，根据向量共线的坐标表示，得到，求解，即可得出结果.

【详解】因为向量，，所以，

又∥，所以，即，

解得：.

故答案为：

【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.

12．已知的值恒小于3，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：依题意恒成立，

即恒成立，

当，即时恒成立，符合题意；

当，则，解得，

综上可得，则实数的取值范围是.

故答案为：

13．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车___________.（精确到小时）

【答案】4

【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.

【详解】当时，由得，

解得，舍去；

当时，由得，即，

解得，

因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.

故答案为：4

14．给定两个长度为1的向量，且它们的夹角均为，若动点在以点为圆心的单位圆的圆弧上，若，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】设，利用，求出，再利用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，求值域得解.

【详解】设，如图，

则，

即 ，

所以，

因为，所以，

所以

故答案为：

15．已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】因为,即,画出函数图象,设有三个不同实数解,故方程有两个根,结合已知,即可求得答案.

【详解】

画出函数图象:

设

有三个不同实数解,

方程有两个根

其中一个在区间上,一个根为或在区间上,

若方程一个根为,

,另一根为,不满足条件.

故方程有两个根,其中一个在区间上,一个在区间

令

①当时

则

解得:

②当时

即,故,

将代入

可得:,

解得:

满足方程两个根中,一个在区间上,一个在区间

综上所述,实数的取值范围为:.

故答案为:.

【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

16．设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】设，，由可得.

要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，

解得或.

①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；

②当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

所以，，解得；

③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；

④当时，设函数的两个零点分别为、，

要使得函数至少有个零点，则，

可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、解答题

17．已知函数.点是函数图象上一点.

(1)求过点作函数图像的切线方程；

(2)求函数的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；

（2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间.

【详解】（1）解：因为，所以，，

所以，即切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即；

（2）解：定义域为，且，

令，解得，

所以的单调递减区间为.

18．已知向量，，其中，记.

（1）若函数的最小正周期为，求的值；

（2）在（1）的条件下，已知△的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求△的面积.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式得出，再根据的最小正周期为即可求出；

（2）根据（1）可得出，然后根据即可求出，然后由余弦定理即可得出，从而求出，然后可求出的面积．

【详解】（1）∵

，

，

的最小正周期为，且，

，解得；

（2）由（1）得，

，

，由得，，

，解得，

由余弦定理知：，即，且，

，，

．

【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、二倍角的正余弦公式、两角和的正弦公式、已知三角函数值求角、余弦定理、三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

19．新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率，A公司生产t万件防护服还需投入成本（万元）.

（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；

（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系；

（2）根据（1）的结果，由题意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根据函数单调性，求出的最大值，即可得出结果.

【详解】（1）因为公司生产万件防护服还需投入成本，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供（万元）的专项补贴，

所以，公司生产防护服的利润

；

（2）为使公司不产生亏损，只需利润在上恒成立；即在上恒成立；

因为，

令，因为，所以，

记，

任取，

则

因为，，所以，即，

所以，即，

所以函数在上单调递增；

因此，即的最大值为；

所以只需，即.

【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.

20．已知函数.

(1)求证：函数是偶函数；

(2)设，求关于的函数在时的最小值的表达式；

(3)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先说明定义域关于原点对称，再证明即可证明函数为偶函数.

（2）换元令，将函数表示为关于t的二次函数，分类讨论a的取值，求出相应最小值.

（3）独立参数m，换元令，将问题转化为求函数的最小值，求得m的取值范围.

【详解】（1）证明：的定义域为，关于原点对称，

又因为，所以为偶函数.

（2）令，因为，所以，

则可化为，，

若，函数在上单调递增，当时函数取最小值，

若，函数在上单调递减，在上单调递增，

当时函数取最小值，

.

（3）由题，在上恒成立，

当时，，

即在上恒成立，

令，因为，，

即在上恒成立，

因为，，当且仅当时等号成立，

所以.

【点睛】使用换元法可以简化函数，不论是单调性问题，还是最值问题都可以更容易解决，换元要注意新未知数的取值范围.

21．定义：是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列的间隔数

（1）若，是不是近似递增数列，并说明理由

（2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围：

（3）已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.

【答案】（1）是近似递增数列，详见解析（2）（3）证明见解析；

【分析】（1）根据近似递增数列的定义判断可知是近似递增数列；

（2）求出，根据，即恒成立，可得；

（3）因为等价于，因为n，k是正整数，所以，均取不到，所以时上式恒成立，可得是近似递减数列，再验证时，不是近似递减数列，则可得4是它的最小间隔数.

【详解】（1）是近似递增数列,理由如下：

因为，

或[注：2，3，4，…，都是间隔数.]

即，所以是近似递增数列.

（2）由题意得，

所以对任意恒成立，

即恒成立，.

令，则，

即a的取值范围是.

（3）因为等价于，

即，（*）

因为n，k是正整数，所以，均取不到，

所以时上式恒成立，即是近似递减数列，4是它的间隔数.

当，当时，，故不等式（*）不成立；

当，当时，，故不等式（*）不成立；

当，当时，，故不等式（*）不成立；

所以，4是它的最小间隔数.

【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了对新定义的理解和运用能力，属于中档题.