2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.【详解】若，，则，，则AB错误；若，，则，则C错误；，，又，，则D正确.故选：D2．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以，所以相应曲线的依次为.故选：A3．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为故选：D4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ）A．1 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据定义有或，分别确定出所在区域，然后可求得面积．【详解】根据定义有或，，则，这是一个边长为1的正方形，面积为1，同理，，也都形成一个边长为1的正方形，面积都是1，所以故选：C 二、填空题5．已知集合，若，则实数a的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a的值.【详解】因为，故或，若，则，与元素的互异性矛盾，舍；若，则或（舍），而时，符合元素的互异性，故实数a的值为2，故答案为：2.6．若全集，，则用列举法表示集合______．【答案】【分析】根据给定条件，求出并用列举法写出作答.【详解】全集，，所以.故答案为：7．“”是“”的___________条件.【答案】充分非必要【分析】根据充分非必要条件的定义可得答案,【详解】因为“”可以推出“”,且“”不能推出“”,所以“”是“”的充分非必要条件.故答案为充分非必要【点睛】本体考查了充分非必要条件的定义,属于基础题.8．设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）【答案】【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为所以故答案为：9．已知实数且，，则__________；【答案】【分析】根据指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：因为所以故答案为：10．已知，当取到最小值时，的值为__________.【答案】3【分析】化简为，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为.由题得.当且仅当时等号成立.故答案为：311．已知集合，，则＝___．【答案】【分析】求出集合A,B,利用并集的运算直接求解．【详解】解不等式即，解得 ，故，解，即，解得 ，故，则，故答案为：．12．设，，且，则实数的取值组成的集合为_______．【答案】【分析】解方程求得集合，根据可得，再分别讨论和即可求解.【详解】，由可得，当时，，当时，，若可得或，可得或，所以实数的取值为，所以实数的取值组成的集合为，故答案为：.13．已知幂函数的图象经过点，则的值为________.【答案】【分析】根据幂函数的定义得到，代入点，得到的值，从而得到答案.【详解】因为为幂函数，所以，即代入点，得，即，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据函数过的点求解析式，属于简单题.14．若，，则____________（用含a，b的代数式表示）.【答案】【分析】利用换底公式结合对数运算得到答案.【详解】.故答案为：15．若实数、满足，则的取值范围是_______．【答案】【详解】，又．，解得16．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．【答案】．【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．【详解】不等式可化为，①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；③当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：；④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；⑤当时，原不等式等价于，其解集为，其解集中恰有2个整数，，解得：，综合以上，可得：.故答案为：．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 三、解答题17．已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.(1)若，求集合A；(2)若，求正数a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接解出不等式即可；（2）分别解出不等式、，然后由可得，然后可得答案.【详解】（1）当时，由可得，即（2）由可得，即当时因为，所以，所以18．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.19．某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30，则其东西侧边长为40，人行通道占地面积最小528．【分析】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为，则其东西侧边长为m，人行通道占地面积为，由均值不等式，得，当且仅当，即时，，此时．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小528m2．20．证朋：(1)设a，b，，则的充要条件是．(2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数．【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义分别证明充分性和必要性即可；（2）假设是有理数，由此结合x是有理数，证明是有理数，利用反证法即可得证.【详解】（1）证明：充分性：若，则，即，所以，故充分性成立；必要性：若，则，即，所以，所以，故必要性成立，所以的充要条件是；（2）证明：假设是有理数，则，因为x是有理数，所以，所以，因为，所以，所以是有理数，与y是无理数矛盾，所以假设错误，所以x是有理数，y是无理数，则是无理数．21．（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）.【解析】（1）根据题意，分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）化简不等式为，转化为且，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.（3）由（1）得，根据中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）当时，不等式可化为无解，满足题意；当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得，综上可得，实数a的取值范围是.（2）由不等式，可得，即且，当时，不等式等价于，解得；当时，由，不等式且的解集为，当时，且，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（3）由（1）得，当中有且只有三个元素，显然不可能，当时，因为，不合题意，舍去，当时，，因为中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是.【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.