2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先解出集合B，再求.

【详解】.

因为，所以.

故选：D

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.

故选：D

3．设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知 推不出；

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．

4．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，列出不等式求得结果即可.

【详解】由可得，又因为分母，

所以原函数的定义域为．

故选：.

【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，涉及一元二次不等式的求解，属综合基础题.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用不等式的性质可判断A；取特殊值可判断B；取特殊值可判断C，D

【详解】选项A，若a＞b，利用不等式的性质可得，正确；

选项B，当时，，不正确；

选项C，当时，a＞b，但，不正确;

选项D，当时，a＞b，但，不正确;

故选：A

7．若函数，则（    ）

A．-2 B．2 C．-4 D．4

【答案】C

【分析】由，得到，由此求出即可.

【详解】∵函数，∴，

.

故选：C.

8．若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有

A．最小值－8 B．最大值－8

C．最小值－6 D．最小值－4

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果.

【详解】∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，

∴af（x）+bx也为奇函数，

又∵F（x）＝af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，

∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，

∴af（x）+bx在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，

∴F（x）＝af（x）+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，

故选D．

【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）﹣2＝af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．

9．已知函数的定义域为R，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意判断出函数关于对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.

【详解】∵是偶函数，∴函数关于对称，∴，又∵在上单调递增，∴在单调递减，∴可化为，解得，∴不等式解集为.

故选：A

10．已知定义在上的奇函数，当时，若对于任意的实数有成立，则正数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】当时，函数的解析式中含有绝对值，去绝对值化为分段函数，再利用函数在上是奇函数，可画出函数的图像，把函数向右平移两个单位为，在采用数形结合可知，要想恒成立，即的图象始终在下方，即可得出，即可得到答案.

【详解】，当时，，为奇函数，即可得到如下图像：

对于任意的实数有成立，采用数形结合把函数的图象向右平移两个单位得到并使的图象始终在的图象的下方，即，即，，.

故选：D.

二、填空题

11．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.

【答案】4

【分析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.

【详解】解：为递增的幂函数，所以，即，

解得：，

故答案为：4

12．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____，

【答案】

【分析】原命题等价于命题“，”是真命题

【详解】由题意得若命题“”是假命题，

则命题“，”是真命题，

则需,故本题正确答案为．

【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．

13．已知函数的，则其值域为_____________.

【答案】

【分析】首先利用换元，将函数转化为，，利用函数的单调性，即可求解.

【详解】设，

即，函数在区间单调递增，

所以.

故答案为：

14．函数的单调递增区间是_____．

【答案】

【解析】首先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】，解得，

令，

对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减.

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

15．已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

三、双空题

16．已知函数，①若对任意，且都有，则实数的取值范围为___________；②若在上的值域为，则实数的取值范围为___________.

【答案】         

【分析】由已知可得在单调递减，利用二次函数的对称轴的位置可得的取值范围；

分、 利用单调性可得实数的取值范围.

【详解】若对任意，且都有，

则在单调递减，则，即，所以实数的取值范围；

当时，若在上的值域为，，

解得或（舍去），又，所以；

当时，因为在单调递减， 则在上的最大值为，不合题意，所以实数的取值范围为.

故答案为：①；②.

四、解答题

17．已知集合，集合，

(1)若，求和；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由，得到，，再利用补集、并集和交集运算求解；

（2）由，得到，分， 求解.

【详解】（1）解：时，，

所以，

所以

；

（2）∵，

，

①若时，，解得，符合题意；

②若时，，解得.

综上可得.

18．函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.

(1)判断函数在的单调性，并给出证明；

(2)求函数的解析式；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）在上单调递减，由定义法证明即可；

（2）由奇函数的定义求解即可；

（3）由函数的奇偶性与单调性结合二次函数的性质求解即可；

【详解】（1）当时，，

∴函数在上单调递减.

证明如下：任取且，

，

∵，∴，

又，∴

∵，

∴函数在上单调递减

（2）因为当时，，所以，当时，，

又因为是定义在实数集上的奇函数，

所以，，

即当时，.

所以，函数的解析式为；

（3）∵函数在上单调递减，且，

又因为是定义在实数集上的奇函数，

所以，函数在上单调递减，且时，，

所以，函数在实数集上单调递减；

那么不等式，

即：，

则有，即（）恒成立，

所以，，

所以，实数的取值范围是.

19．设函数

（1）若，且，求的最小值；

（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由可得，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得；

（2）依题意可得，即在上恒成立，等价于是不等式解集的子集，再对参数分类讨论，分别计算可得；

【详解】解：（1）函数，由，可得，所以，

当时等号成立，因为，，，解得，时等号成立，

此时的最小值是.

（2）由，即，

又由在上恒成立，即在上恒成立，

等价于是不等式解集的子集，

①当时，不等式的解集为，满足题意；

②当时，不等式的解集为，则，解得，故有；

③当时，即时，不等式的解集为，满足题意；

④当时，即时，不等式的解集为，不满足题意，（舍去），

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题.

20．已知函数是定义域上的奇函数，且．

（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；

（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；

（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．

【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）

【解析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；

（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；

（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围.

【详解】（1），且是奇函数，，

，解得，

．

函数在上单调递减，在上单调递增，

证明如下：任取，，且，

则，

，且，

，，

∴，

，即，

函数在上单调递减.

同理可证明函数在上单调递增．

（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，

所以在上有两个不相等的实数根，

则，解得．

（3）由题意知，

令，，

由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，

，

函数的对称轴方程为，

函数在上单调递增，

当时，取得最小值，；

当时，取得最大值，.

所以，，

又对任意的，都有恒成立，

，

即，

解得，又，

的取值范围是．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.