2022-2023学年云南师范大学附属中学高一上学期教学测评期中卷数学试题（解析版）

2022-2023学年云南师范大学附属中学高一上学期教学测评期中卷数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，即先将量词“”改成量词“”，再将结论否定，

所以该命题的否定是“，”.

故选：D.

2．已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集、补集的定义求解即可.

【详解】由题意，得，所以

故选：C

3．下列函数在定义域内单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别讨论选项中函数的单调性，选取符合题意的选项.

【详解】由幂函数单调性可知，

函数在定义域内单调递增，不满足题意；

函数在定义域内单调递减，满足题意；

函数在，上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意；

函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.

故选：B

4．已知函数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得.

【详解】由，即“”“”，

由，可知当时，可得，解得；

当时，可得，可得，

即“”“”；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.

【详解】函数与的图象过定点，

所以C，D错误；

又因为与单调性相异.

故选：A

6．已知集合，，则下列命题为假命题的是（    ）

A．， B．若，则

C．若，则有三个元素 D．，

【答案】C

【分析】化简集合，然后分类讨论，结合交集，并集的定义即得.

【详解】由题，

当或时，，此时，，；

当且时，，此时，

若，则，即；

所以A，B，D是真命题，C是假命题.

故选：C.

7．已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C． D．5

【答案】B

【分析】根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求的最小值.

【详解】由是幂函数，可得，，即，，

又由点在一次函数的图像上，所以，

因为，，所以由基本不等式，得

，

当且仅当时取等号，即当，时，，

故选：B.

8．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可得函数单调递增，进而可得的解集为，然后分类讨论结合二次函数的性质即得.

【详解】当时，在上单调递增且；

当时，在上单调递增且；

所以在上单调递增，

又由，则有，

由题，可知的解集为，

当时，恒成立，符合题意；

当时，则有，

解不等式组，得；

综上可得，当时，的解集为.

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AC

【分析】根据函数定义域及解析式逐项分析即得.

【详解】对于A，C中，两个函数的定义域，解析式均相同，所以A，C正确；

对于B中，因为，所以两函数解析式不同，B错误；

对于D中，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，D错误。

故选：AC.

10．下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项的正误，利用特殊值法可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由，则可知，所以，

又当时，，所以A错误；

对于B选项，由得，，

又，根据同向不等式可相加，得，所以B正确；

对于C选项，，则，所以C错误；

对于D选项，由于，

若，则，可得，从而，不合乎题意，

所以，，由可得，

故，所以D正确.

故选：BD.

11．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则及换底公式逐项分析即得.

【详解】对于A中，原式，所以A正确；

对于B中，原式，所以B正确；

对于C中，原式，所以C错误；

对于D中，原式，所以D正确.

故选：ABD.

12．若定义域是的函数满足：①，，都有；②，，且，都有.则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．函数是偶函数 D．，都有

【答案】ACD

【分析】根据函数单调性的定义，函数奇偶性的定义，利用赋值法结合条件逐项分析即得.

【详解】对于A，令，，则，即，

由①可知，在上是减函数，则有不恒为0，所以，即，所以A正确；

对于B，令，，则，又由A可知，

所以无法确定，所以B错误；

对于C，令，，，则，即，

所以函数是偶函数，所以C正确；

对于D，令，，则，

所以，所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数为上的奇函数，且当时，，则___________.

【答案】1

【分析】利用奇函数的定义即可求解.

【详解】由于函数为上的奇函数，

所以.

故答案为：1.

14．函数的值域为___________.

【答案】

【分析】求原函数的反函数，反函数的定义域就是原函数的值域.

【详解】由，可得，所以原函数的反函数为，

由，反函数的定义域为，所以原函数的值域为.

故答案为：

15．爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.

【答案】25%

【分析】由题可得，然后根据关系式即得.

【详解】由题，得当时，；

当时，，即，

解得，

所以；

所以当时，，

即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.

故答案为：25%.

16．已知，关于的不等式的解集为，设，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为___________.

【答案】4

【分析】利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，利用基本不等式可得到的最小范围，再根据可得到集合中最少的元素个数

【详解】由可得，所以，则原不等式的解集为，

设，

由基本不等式可得，

当且仅当即时取等号，

所以当时，，

所以，又，

所以，

则集合中的元素最少有4个，

故答案为：4

四、解答题

17．已知集合，非空集合.

(1)当时，求；

(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求解集合中不等式，再结合并集运算求解即可；

（2）转化题干条件为，列出不等式组，求解即可.

【详解】（1）由，可得，

即

所以.

又当时，

，

所以.

（2）由是的必要条件，知非空集合，

又，

所以

所以，

即所求的取值范围是.

18．已知函数的定义域为.

(1)根据单调性的定义，证明在上是增函数；

(2)若函数是上的减函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数的单调性的定义即得；

（2）由题可得，进而可得在上恒成立，然后求函数的最值即得.

【详解】（1），，且，

则，

由于，且，

所以，，，

所以，

则有，

即，

所以在上是增函数；

（2）由于函数是上的减函数，且，

所以，

又，所以，即在上恒成立，

由（1）可知在上是增函数，

所以，

即的取值范围为.

19．已知函数，.

(1)若，使得成立，求实数的取值范围；

(2)当时，解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1），使得成立，即在区间上，利用单调性求函数最大值即可.

（2）不等式等价于，讨论a的正负以及对应方程两根的大小，求出解集.

【详解】（1）为二次函数，在上是减函数，在上是增函数，所以，，

由于在上是增函数，所以，，

由于，，使得，

所以，所以，即，

所以实数的取值范围为.

（2）当时，由可得：，即，

令，则或.

讨论如下：①当时，，原不等式的解集为；

②当时，，原不等式的解集为；

③当时，原不等式的解集为；

④当时，，原不等式的解集为.

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为.

20．第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.

(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）

(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.

【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；

（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.

【详解】（1）由题意知，当时，，

所以，

当时，；

当时，，

所以；

（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，

所以当时，有最大值，最大值为1500；

当时，由基本不等式，得

，

当且仅当时取等号，

所以当时，有最大值，最大值为1550；

因为，

所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.

21．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求；

(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据奇函数满足可得，然后根据奇函数的定义进行检验即可；

（2）由可得到，设，故题意可转化成在上有解，令，列出不等式即可求解

【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，

由于，，即函数的定义域为；

又，

所以函数为奇函数，符合题意，所以；

（2）由于，且，，

所以，则，即，所以，

令，则方程有解等价于方程在上有解，

令，又，

所以在上有解需满足或，

解不等式组，得或，

所以实数的取值范围是.

22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“和一函数”.

(1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”，并说明理由；

(2)若函数在定义域上是“和一函数”，其中，求的取值范围.

【答案】(1)在区间上的函数不是“和一函数”，理由见解析；

(2).

【分析】（1）根据“和一函数”的定义以及的单调性和值域，当时，都不成立，判定即可；

（2）结合的单调性，转化“和一函数”满足的条件为，列出不等关系组，求解即可.

【详解】（1）在区间上的函数不是“和一函数”.

理由如下：因为在上是减函数，所以，

当时，，，不符合“和一函数”的定义.

（2）在定义域上是“和一函数”，

由于在上是增函数，则.

，，都存在，使，

则，所以，

则有即则，所以.

因为，所以，所以.

由于，令且；

因为在上是减函数，所以，

即，所以的取值范围为.