2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为，所以,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2．下列四组对象中能构成集合的是（    ）.

A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点

C．很小的实数 D．倒数等于本身的数

【答案】D

【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.

【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；

对于，符合集合的定义，正确.

故选：.

【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.

3．下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；

【详解】由基本不等式可知，故A不正确；

由，可得，即恒成立，故B正确；

当时，不等式不成立，故C不正确；

当时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

4．已知函数．则的值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，

将代入，可得，

故选：．

5．集合或，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．

【详解】解：，

①当时，即无解，此时，满足题意．

②当时，即有解，当时，可得，

要使，则需要，解得．

当时，可得，

要使，则需要，解得，

综上，实数的取值范围是．

故选：A．

【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.

6．下列结论中正确的个数是（    ）

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

②命题“”是全称量词命题；

③命题“”的否定为“”；

④命题“是的必要条件”是真命题；

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.

【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；

对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；

对于③：命题，则，故③错误；

对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；

所以正确的命题为②④，

故选：C

7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．8

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．

【详解】的解集为，则的两根为，，

∴，∴，，则，即，

，当且仅当时取“=”，

故选：C.

8．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ）

A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立

C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.

【详解】当且 时，

的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.

当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．0∈∅ B．∅⊆{0} C．若a∈N，则-a∉N D．π∉Q

【答案】BD

【解析】利用集合与集合和元素与集合的关系，逐一判断四个选项的正误.

【详解】空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确.

故选：BD

10．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】画出函数的图象，由图象可知函数在上为增函数，再利用函数的单调性简化不等式，即可得到结果．

【详解】因为函数，画出函数图象如图所示：

所以函数在上为增函数，

由得，

即

解得，

故选：B C D．

11．不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.

【详解】解：因为不等式的解集是，

所以，且，

所以所以，，，

故AC正确，D错误．

因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，

所以当时，，故B正确．

故选：ABC．

12．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数是偶函数

B．方程有三个解

C．函数在区间上单调递增

D．函数有4个单调区间

【答案】ABD

【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.

【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．

由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；

函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．

故选：ABD

三、填空题

13．著名的函数，则______.

【答案】1

【分析】根据函数解析式分类讨论求解即可.

【详解】当，；

当，，

故答案为：1

14．已知集合，集合，则集合的子集个数为________．

【答案】4

【分析】先求得，由此求得集合的子集个数.

【详解】，，

，共有个元素，故集合的子集个数为个.

故答案为：4

15．给出以下四个命题：

①若函数的定义域为，则函数的定义域为；

②函数的单调递减区间是；

③已知集合，，则映射：中满足的映射共有3个；

④若，且，则.

其中正确命题的个数为______.

【答案】2

【分析】根据抽象函数定义域的求法判断①；根据反比例函数的图象和性质判断②；

根据映射的定义判断③；根据已知得到,进而判断④．

【详解】①：若函数的定义域为，由得:,

所以函数的定义域为，故①错误;

②：函数的单调递减区间是和，故②错误；

③：对于集合，映射中满足的映射共有：

，，，共3个，故③正确；

④：若，则，

又，所以,

，故④正确.

故答案为：2.

16．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第_______楼，会有一个最佳满意度.

【答案】

【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，可得出，利用基本不等式结合双勾函数的单调性可求得结果.

【详解】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，

，当且仅当，即时取等号，

但考虑到，所以，当时，当时，

即此人应选楼，不满意度最低.

故答案为：.

【点睛】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

四、解答题

17．已知集合， .

（1）求;

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；；（2）a>3.

【分析】（1）先化简集合B，再利用集合的并集、补集和交集运算求解；

（2）根据，结合，利用数轴求解.

【详解】（1）因为集合，

所以，或，

或;

（2）因为，且，

所以a>3，

所以的取值范围是.

18．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1），0≤x≤2；（2）当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.

【分析】（1）根据题意，结合已知数据，即可列出函数关系式；

（2）根据（1）中所求函数解析式，求函数的最大值即可.

【详解】（1）当促销费用为万元时，

付出的成本是：

销售收入是：，

故

整理可得，0≤x≤2.

（2）根据（1）中所求，

，当且仅当时取得最大值.

故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.

【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及利用基本不等式求和的最小值，属综合基础题.

19．设：实数满足，：.

(1)若，且，至少有一个为真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得都是假命题时的取值范围，由此求得至少有一个是真命题时的取值范围；

（2）根据是的充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）对于，，由于，

所以解得，设，

对于，，设，或.

当时，或.

当都是假命题时，或.

所以当至少有一个是真命题时，的取值范围是.

（2）由于是的充分不必要条件，所以，

所以（等号不能同时成立），解得，

所以的取值范围是.

20．已知函数.

(1)讨论函数的奇偶性（直接写出结论，无需证明）；

(2)若，求证：函数在区间上是增函数；

(3)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用定义法直接讨论函数的奇偶性；

（2）利用定义法证明函数的单调性；

（3）利用根据函数的单调性，利用定义法可转化为不等式恒成立问题，进而可得参数取值范围.

【详解】（1）当时，函数，，函数为偶函数，

当时，函数，，函数为非奇非偶函数，

综上所述，当时，函数为偶函数，

当时，函数为非奇非偶函数；

（2）当时，，

任取，，且，即，

则，

又，，所以，

所以，

即，

所以函数在区间上是增函数；

（3）任取，，且，即，

所以，

又函数在区间上是增函数，所以，

即恒成立，

又，所以，，

即，

所以.

21．已知函数.

(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在，.

【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得的取值范围.

（2）分类讨论当时函数的最大值小于恒成立即可求得的取值范围.

（3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得的值.

【详解】（1）函数图象开口向下且对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得.

（2）函数图象的对称轴是.

当时，恒成立，故，所以；

当时，恒成立，故；

所以

综上所述：的取值范围

（3）当，即时，在上递减，

若存在实数，使在上的值域是，则

即，此时无解.

当，即时，在上递增，则即解得.

当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或，舍去.

综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是.

22．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.

【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；

（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．

【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法

，

.

均不为，则，．

［方法二］：消元法

由得，则，当且仅当时取等号，

又，所以．

［方法三］：放缩法

方式1：由题意知，又，故结论得证．

方式2：因为，

所以

．

即，当且仅当时取等号，

又，所以．

［方法四］：

因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，

不妨设则.

［方法五］：利用函数的性质

方式1：，令，

二次函数对应的图像开口向下，又，所以，

判别式，无根，

所以，即．

方式2：设，

则有a，b，c三个零点，若，

则为R上的增函数，不可能有三个零点，

所以．

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

不妨设，因为，所以，

则．故原不等式成立．

［方法二］：

不妨设，因为，所以，且

则关于x的方程有两根，其判别式，即．

故原不等式成立．

［方法三］：

不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．

［方法四］：反证法

假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．

【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．

（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．