北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直精练

【基础】5.1 直线与平面垂直-3课时练习

一．填空题

1．点．．分别是正方体的棱,,的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.

①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形;

②点在直线上运动时,总有;

③点在直线上运动时,三棱锥的体积是定值;

④若是正方体的面,（含边界）内一动点,且点到点和的距离相等,则点的轨迹是一条线段.

2．四棱锥中，底面是正方形，底面，且，E是的中点，则异面直线与所成角的正切值为______；

3．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为________.

4．已知在三棱锥中，AB，AC，AD两两垂直，且，则三棱锥外接球的体积为_____________.

5．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.

6．如图，在直角梯形中，，，．分别是．的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是______________.

（1）不论折至何位置（不在平面内），都有平面；

（2）不论折至何位置，都有；

（3）不论折至何位置（不在平面内），都有；

（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使.

7．如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是等边三角形，且平面平面，E为棱上一点，若平面平面，则______.

8．如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.

9．如图，三棱锥，，，两两垂直，，，，点为三棱锥外接球的球心，则与所成角的大小为______．

10．已知一个正四棱锥的底面边长是2，侧面积是，则该四棱锥的高为________．

11．棱长为1的正方体中，为的中点，点为侧面内一动点（含边界），若动点始终满足，则动点的轨迹的长度为_________

12．如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.

13．已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为______．

14．在三棱锥中，顶点在底面的射影为的垂心，且中点为，过作平行于的截面，记，记与底面所成的锐二面角为，当取到最大，___________.

15．如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】①②④

【解析】根据题意画出正方体.

根据图像可知四个面都是直角三角形,①对;根据图象易证面,所以不论点在直线上如何运动,总有,②对;根据等体积关系有,面不变,但高在变,所以三棱锥的体积不是定值,③错;

④以为轴,以为轴建平面直角坐标系,设,棱长为1.根据距离公式可得,.且, 的轨迹是线段.④对.

【详解】

解:画出正方体.

①四面体及四个面都是直角三角形,①对;

②在平面中有,又正方体中,从而可以得到面,所以不论点在直线上如何运动,总有,②对;

③因为,面不变,底面面积不变,点在直线上运动时,点到平面的距离在变,即高在变,所以三棱锥的体积不是定值,③错;

④以为轴,以为轴在平面所在平面建平面直角坐标系,设,棱长为1.则,.因为,所以,即的轨迹是线段.④对.

故答案为: ①②④

【点睛】

本题考查空间线面位置关系的判断,考查椎体体积等基础知识,考查空间想象力．推理论证能力.

2．【答案】

【解析】连接，易知，即为异面直线与所成的角，

【详解】

连接

连接因为是中点

所以

所以即为异面直线与所成的角

设

所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证能力，属于中档题.

3．【答案】

【解析】先求出点F到平面ABC的距离，然后根据三棱锥的体积公式求出三棱锥BEFC的体积.

详解：因为F是PC的中点，PA⊥平面ABC，PA＝4，所以F到平面ABC的距离为2，所以三棱锥BEFC的体积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了棱锥的体积公式，考查了点到面的距离求法，考查了数学运算能力.

4．【答案】

【解析】利用三棱锥侧棱AB．AC．AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径，即可求解.

详解：因为三棱锥侧棱AB．AC．AD两两垂直，补成长方体，如图，

该长方体的三边分别为，

所以球的直径为,

即，

所以三棱锥的外接球的体积为,

故答案为：

【点睛】

本题主要考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个球,关键点要注意长方体的对角线就是球的直径，属于中档题.

5．【答案】

【解析】取的中点,连接．，可知外接球的球心在面中，再作，分别求出与的长度后即可得解.

详解：

如图1，取的中点,连接．，由已知易知面面，则外接球的球心在面中.由二面角的大小为可知.

在面中，设球心为，作，连接，

易知在面上的投影即为，平分，

为的中心，，，

，.

故答案为：

【点睛】

本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.

6．【答案】（1）（2）（4）

【解析】折叠后根据线面位置关系对每个结论给出证明．

【详解】

折叠后如图，分别取中点，连接，易知是的交点，因此也是中点，而别是的中点，

∴，，∴是平行四边形，∴，

平面，平面，∴平面．（1）正确；

折叠过程中保持不变，又，所以平面，从而，所以，（2）正确；

若，则共面，即共面，从而直线共面，这样在平面也即在平面内，矛盾，（3）错误；

当时，又，而，∴平面，平面，所以．（4）正确．

故答案为：（1）（2）（4）．

【点睛】

本题考查空间直线．平面间的位置关系，平面图形折叠成空间图形过程中，有些位置关系保持不变，有些会发生变化，而在空间图形中的位置关系一般要给予证明才能确定．

7．【答案】

【解析】取的中点O,连接交于F点,由已知可得平面,由只需满足则平面平面.根据,即可求得结果.

详解：取的中点O，连接交于F点，∵，，∴.

∵平面平面，，∴平面,在中,当,平面,则有平面平面，

∴.

故答案为: .

【点睛】

本题考查面面垂直的性质,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,难度一般.

8．【答案】

【解析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.

【详解】

易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.

故答案为：．

【点睛】

本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．

9．【答案】

【解析】根据题意可将三棱锥补全为一个长方体，通过平移可将两一面置于一个三角形内，解三角形，即可得解.

详解：如图，将三棱锥补为长方体，易知其外接球的球心在长方体体对角线的中点，与所成角即为，在中，易求，，，则与所成角的大小为．

【点睛】

本题考查了异面直线所成角问题，考查了割补法，考查了空间想象能力和转化思想，属于较难题.

10．【答案】

【解析】根据线面垂直的判定定理得出为该四棱锥的高，根据题设条件以及勾股定理得出该四棱锥的高.

【详解】

连接正方形的对角线，并相交于点，取中点为，连接

由题意知，，面，

面

即为该四棱锥的高

面，则

因为侧面积是，所以，即

所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正棱锥的有关计算，属于中档题.

11．【答案】

【解析】如图，取的中点，.先找到一个平面总是保持与垂直，即面，又点在侧面及其边界上运动，并且总是保持与垂直，得到点的轨迹为面与面的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是.

详解：

先找到一个平面总是保持与垂直，取的中点，.连接，，，

在正方体中，有面，又点在侧面及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点的轨迹为面与面的交线段.

在直角三角形中，，

故答案为：

【点睛】

本题考查线面垂直的定义及判定定理，考查数形结合思想，属于中等题型

12．【答案】     

【解析】关键要找平面的垂线，根据题中的垂直关系，作平行四边形，连接，可证平面．从而可得直线与平面ABC所成角，解之即可，而就是三棱锥P-ABC外接球的直径，这个易求．

【详解】

如图，作平行四边形，连接，由，则平行四边形是矩形．

由，，，∴平面，而平面，∴，同理可得，又，∴平面．，是PA与平面ABC所成角．

由得，又，∴．

∴PA与平面ABC所成角是．

由知的中点到的距离相等，是三棱锥P-ABC外接球的直径．

由平面得，，

．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，考查球的表面积．解题关键是找到平面的垂线，作出直线与平面所成的角．

13．【答案】

【解析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.

【详解】

以，，为过同一顶点的三条棱，作长方体，

由，可知此长方体即为正方体.

设外接圆半径为，则，

设内切圆半径为，则内切圆的圆心到四个面的距离均为，

由，解得

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球外接球问题．等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

14．【答案】

试题分析：根据题意可得平面与底面所成的锐二面角为，即为，在中，，在中，，再利用基本不等式，进而化简即可得到结论.

【详解】

如图，

平行于平面和底面的交线.

又顶点在底面的射影为的垂心，

则，，

平面，

，

因此平面与底面所成的锐二面角为，即为.

在中，，在中，，

又点为的中点，所以，即，

整理得，

所以当取到最大时.（这个问题就是米勒最大角问题.）

即时，角最大，从而正切值最大，

不妨设，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查棱锥的结构特征，线面角的求法，两角和的正切公式，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题.

【解析】

15．【答案】

【解析】设，先由的面积为建立方程求出，然后因为平面，所以

【详解】

设，因为三棱锥是正三棱锥，且

所以和都是边长为的等边三角形

因为为棱的中点，所以

所以，解得

因为

所以平面

所以

故答案为：

【点睛】

正三棱锥是比较特殊的图形，发现，可以简化运算.