北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直同步练习题

【名师】5.1 直线与平面垂直-1作业练习

一．填空题

1．四面体的四个顶点都在球的球面上，，，，且平面平面，则球的表面积为______.

2．已知正四棱锥的底面边长为2，其内切球的半径为r(0<r<1)，则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为____________.（用含r的代数式表示）

3．在三棱柱中，，，两两垂直，且，点在侧面内(含边界)，若，则长度的最大值为______.

4．如图，直三棱柱中，侧棱平面，若，，则异面直线与所成的角为_________.

5．如图所示，三棱锥中，．均为等边三角形，，则三棱锥的体积为________.

6．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，给出以下命题：

①异面直线与所成的角不为定值；

②平面平面；

③二面角的大小为定值；

④三棱锥的体积为定值

其中真命题的序号为__________.

7．已知矩形中，，若平面，在边上取点，使，则当满足条件的点有两个时，的取值范围是___________.

8．在正方体中，，分别为棱，上的动点，且满足，则下列命题中，所有正确命题的序号为______.①当点异于点时，直线与直线一定异面；②的面积为定值；③，运动过程中，均有；④，运动过程中，线段在面内射影所形成的区域面积是四边形面积的一半.

9．正方体中，与底面所成角的大小是_________.

10．已知直线不重合，平面不重合，下列命题正确的是______(填序号).

①若，，，，则

②若，，，则

③若，，，则

④若，，则

11．在三棱锥中，若平面平面，且.则直线与平面所成角的大小为_____________.

12．已知，是不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若，，则；

②且，则；

③若，，则.

所有正确命题的序号为______.

13．在正方体中，直线与平面所成的角的大小为__.

14．过△ABC所在平面a外一点P，作OP⊥a，垂足为O，连接PA，PB，PC，

若PA=PB=PC,则点O为△ABC的            心．

15．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则在四面体中，下列说法正确的是_______（填写序号）.（1）；（2）与平面所成的角为30°；（3）四面体的体积为；（4）二面角的平面角的大小为45°.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意，，取的中点，连接．，利用面面垂直的性质定理得出平面，可得是四面体高，即是直角三角形，且，，即可求解和外接圆，利用球心到．．距离等于球的半径可得答案．

详解：由题意，，取的中点，连接．，则，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，是三棱锥的高，

设，可得，

平面，平面，，

由勾股定理得，则，解得，

的边长为，，则，

的外接圆半径为，

设外接球的半径，球心到平面的距离为，

可得，解得，

因此，球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

2．【答案】

【解析】如图，记正四棱锥的内切球为球O，M，N分别为AD，BC的中点，

连接MN，PN，设MN，PN与球O分别切于点E，F，

则，，

设，，

则，，，

所以，

连接BE，易知侧棱PB与底面ABCD所成角的平面角为，

在中，.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】作于，设，，进而可得

，即可求出最大值.

详解：

作于，设，，

因为，所以，整理得，

故，所以，故.

而，所以当时，

长度最大为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了立体几何两点间的距离问题，考查了计算能力和空间想象能力，属于一般题目.

4．【答案】

【解析】连接，由，得或其补角是异面直线与所成的角，判断的形状，由此能求出异面直线与所成的角．

详解：连接，

在三棱柱中，且，所以，四边形为平行四边形，

，所以，异面直线与所成的角为或其补角，

直三棱柱中，侧棱平面，．平面，

，，且，则，

同理可得，所以，为等边三角形，则.

因此，异面直线与所成的角为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．【答案】

【解析】根据．均为等边三角形，，可求得的长.结合即可知为正三角形.可证明平面，所以，即可求得.

详解：取的中点，连接，如下图所示：

因为三棱锥，

故，

又，所以为正三角形，

又因为，故平面，

故三棱锥的体积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥中线面垂直的判断，三棱锥体积的求法，证明平面是关键，并且，属于中档题.

6．【答案】②③④

【解析】对于①：因为在棱长为1的正方体中，

点P在线段上运动，由正方体的性质可知：，由正方形的性质可知：，而平面，所以平面，

而平面，所以，

故这两个异面直线所成的角为定值，所以①不正确；

对于②：由正方体的性质可知：，由正方形的性质可知：，而 ，所以平面，而平面 ，所以，

同理，而， 平面，所以平面，

而平面，所以有平面平面，故②正确；

对于③：因为二面角的大小，实质为平面与平面所成的二面角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故③正确；

对于④：三棱锥的体积还等于三棱锥的体积的体积，

而平面为固定平面且大小一定，又因为，而平面，

所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，

所以三棱锥的体积为定值，故④正确．

故答案为：②③④

7．【答案】

【解析】∵PA⊥平面AC，

∴PA⊥DE

又∵PE⊥DE，PA∩PE=P

∴DE⊥平面PAE

∴DE⊥AE

即E点为以AD为直径的圆与BC的交点

∵AB=3，BC=a，满足条件的E点有2个

∴

故答案为

8．【答案】①③④

【解析】对①，用反证法即可证明①正确；对②，取特殊点即可判定②错误；对③，过做，过做，连接，利用三角形相似的性质得到，从而易证平面，即可证明正确；对④，根据题意得到线段在平面内射影所形成的区域为和，即可证明④正确.

详解：对①，如图所示：

当时，假设直线与直线是共面直线，则与共面，

与题意矛盾，所以直线与直线一定异面，故①正确；

对②，当点在处时，点与重合，如图所示：

设正方体边长为，.

当点在中点时，此时点在的中点，如图所示：

设正方体边长为，，

故的面积不是定值，故②错误；

对③，过做，过做，连接，如图所示：

因为，，，，，

所以，即.

所以四边形为矩形，即.

又因为，，所以平面.

平面，所以，故③正确.

对④，点在平面内的射影点的轨迹为线段，

设，如图所示：

线段在平面内射影所形成的区域为和，

，故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】

本题主要考查空间中直线的位置关系，同时考查了线段的射影，属于难题.

9．【答案】

【解析】作出图形，利用直线与平面所成角的定义可知与底面所成角为，然后计算出，即可得出与底面所成角的大小.

详解：如下图所示：

设正方体的棱长为，则，，

在正方体中，平面，

与平面所成的角为，

平面，平面，，，

在中，，则.

因此，直线与平面所成角的大小为.

故答案为.

【点睛】

本题考查直线与平面所成角的计算，熟悉直线与平面所成角的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

10．【答案】④

【解析】结合线面关系通过列举反例可判断①．②．③都不一定能够成立，④线面垂直定义，可判断正确

详解：①中，若，，，，则平面可能相交，如图：

②中，若，，，则可能异面；

③中，若，，，则可能相交．平行．异面，不一定垂直；

④中，根据线面垂直的定义，，，则，正确；

故答案为：④

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系的判断，属于基础题

11．【答案】；

【解析】过作，交于，推导出是中点，且平面，从而直线与平面所成角为，由此能求出直线与平面所成角的大小．

详解：过作，交于，

∵在三棱锥中，平面平面，且，

∴为等腰直角三角形，是中点，且平面，

∴直线与平面所成角为，

∵在等腰直角三角形中，

∴直线与平面所成角的大小为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查线面角的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12．【答案】①③

【解析】对于①，由面面垂直的判定定理得；对于②，或；对于③，由线面垂直的性质得.

详解：解：由，是不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，知：

对于①，若，，则由面面垂直的判定定理得，故①正确；

对于②，若且，则或，②错误；

对于③，若，，则由线面垂直的性质得，故③正确.

故答案为：①③.

【点睛】

本题考查线面平行与面面垂直的判定，线面垂直性质，掌握空间直线．平面的平行关系的判定方法是解题基础．

13．【答案】

【解析】连结，交于点，连结，，，平面，从而是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成的角的大小.

详解：解：连结，交于点，连结，

∵平面，平面，∴，

在正方形中，，

∵，∴平面，

∴是与平面内的射影，

∴是直线与平面所成角，

在中，，

∴，

∴直线与平面所成的角的大小为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是：作出直线与平行所成的角，并证明，然后在三角形中求解．

14．【答案】外

【解析】证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，,故△POA，△POB，△POC都是直角三角形,∵PO是公共边，PA=PB=PC,∴△POA≌△POB≌△POC,∴OA=OB=OC故O是△ABC的外心，故答案为外心．

15．【答案】（1）（4）

【解析】根据翻折前后的数量关系和位置关系分析即可判断.

详解：对于（1），可知在四面体中，

平面平面，，平面，

，，

在中，，

在中，满足，，故（1）正确；

对于（2），由（1）知平面，

即为与平面所成的角，

可知是等腰直角三角形，，故（2）错误；

对于（3），，故（3）错误；

对于（4），可知，即为二面角的平面角，

且，故（4）正确.

故答案为：（1）（4）.

【点睛】

本题考查空间中相关数量的计算，属于基础题.