必修 第二册5.1 直线与平面垂直达标测试

【精品】5.1 直线与平面垂直-1作业练习

一．填空题

1．如图所示，正方体的棱长为，则点C到平面的距离是__________．

2．如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，，，点到平面的距离为______．

3．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥.

其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的编号）

4．已知矩形中，，，点是边上的动点，将沿折起至，使得平面平面，过作，垂足为，则的取值范围为___________.

5．如图，在矩形中，是边的中点，将沿直线折成，使得二面角的平面角为锐角，点在线段上运动(包括端点)，当直线与平面所成角最大时，在底面内的射影面积为___________.

6．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，给出以下命题：

①异面直线与所成的角不为定值；

②二面角的大小为定值；

③三棱锥的体积为定值；

④平面平面.

其中真命题的序号为__________.

7．如图,已知二面角的大小为,其棱上有两点,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,则线段的长为_____.

8．在三棱锥中，底面.若，分别是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________.

9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下命题正确的是______（写序号）.（1）若，，，则；（2）若，，，则；（3）若，不平行，则，不可能垂直同一平面；（4）若，，，则.

10．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.

11．已知正方形的边长为，平面，且，则__________．

12．如图，已知正是一个半球的大圆O的内接三角形，点P在球面上，且面，则三棱锥与半球的体积比为_________．

13．如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记：这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为，设，则当时，函数的值域为________.

14．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.

15．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的结论序号是_______________.①；②平面；③异面直线，所成的角为定值；④直线与平面所成的角为定值；⑤以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】连接交于点，证明平面，则点C到平面的距离为长度.

详解：连接交于点，根据正方体的特点可知平面，平面，

所以，又，且平面，平面，且，所以平面.

因为正方体的棱长为，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查用定义法求解点到面的距离，较简单，作出点到面的垂线是解题的关键.

2．【答案】

【解析】先证平面，利用等体积能求出到平面的距离．从而能求出点到平面的距离．

详解：连接，为等边三角形，为的中点，

．和为等边三角形，

为的中点，，，．

在中，，

，即．，

平面．

设到平面的距离为，

则，，

由等体积可得，

解得点到平面的距离为．

点到平面的距离为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

3．【答案】④

【解析】利用线面平行．线面垂直的判定定理和性质定理分析判断即可

详解：解：对于①，当，时，直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误；

对于②，若，∥，则直线有可能在平面内，所以②错误；

对于③，若，，则直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误；

对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的，

故答案为：④

【点睛】

此题考查线面平行．线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题

4．【答案】

【解析】如图：

设，，

因为，平面平面，，

所以平面，所以，

，，，

又

，

所以，所以，所以，所以，

又，所以，

所以，

5．【答案】

【解析】如图所示，取的中点，连接交于，连接，则由题意可知，则是二面角的平面角，

因为，所以在平面上的投影在上，记为

设二面角的平面角，则

，

所以，即，

所以为钝角，所以，即直线与平面所成角最大时，点与点重合，

因为在矩形中，是边的中点，

所以均为等腰直角三角形，,

所以,即，

所以到平面的距离为，

所以此时直线与平面所成角的正弦值为

，

令，则

，当且仅当，即时取等号，即，此时，

所以在底面内的射影面积为，

故答案为：

6．【答案】②③④

【解析】

7．【答案】

【解析】过点作,使得,连接则四边形为平行四边形,所以,因为,可得是二面角的平面角,故,结合已知,即可求得答案.

详解：

过点作,使得,连接

则四边形为平行四边形,

,

是二面角的平面角,故

在中,

,

平面,

则

在中,

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了根据已知二面角求线段长,解题关键是掌握二面角定义和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

8．【答案】

【解析】根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.

【详解】

因为底面，所以.

又，所以平面，故.

又，故，

所以平面，

所以.

又，

所以，故两两垂直.

又，

故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1，，的长方体外接球半径相同.

所以三棱锥的外接球的半径为，

故外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，涉及线面垂直，线线垂直的性质和判定；本题的关键是将棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.

9．【答案】（3）（4）

【解析】根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

详解：（1）若，，，则或相交或异面，故（1）错误；

（2）若，，，则或相交或异面，故（2）错误；

（3）可以看逆否命题，若，垂直同一平面，则是真命题，故（3）正确；

（4）若，，则，又，则，故（4）正确；

故答案为：（3）（4）.

【点睛】

本题考查了线面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.

10．【答案】若，，则

【解析】若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.

详解：解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，

可得若，，则，

理由：在内取两条相交直线a，b，

由可得.，

又，可得.，

而a，b为内的两条相交直线，可得.

故答案为：若，，则

【点睛】

此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题

11．【答案】

【解析】由题意画出图形，利用勾股定理求出PC的长．

解：根据题意画出图形，因为ABCD是正方形，PA垂直底面ABCD，

所以PA⊥AC，

AC=

PC=

故答案为

12．【答案】

【解析】设球半径为，等边三角形边长为a，有题意可得，则可得a与R的关系，分别表示出三棱锥与半球的体积，即可得结果.

详解：设球半径为，等边三角形边长为a，由图知，，连接，

面，，

由球的对称性知O是等边三角形的外心，

故答案为：

【点睛】

本题考查球和三棱锥体积的求法，考查球和棱锥的性质和基础知识，与球有关外接问题的解题规律如下：

（1）直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的．

（2）正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

（3）求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．

13．【答案】

【解析】由已知得当或时，截面是三角形，此时截面的面积最小，当，即在中点时，截面为正六边形的面积最大，由此可求得答案.

详解：如图：∵正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为3，

∵，当或时，截面是三角形，此时截面的面积最小，

设截面三角形的边长为，由等体积法得：，

∴，∴.

当，即在中点时，截面为正六边形的面积最大，此时正六边形的边长为，故截面面积最大为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查正方体截面面积的最大值，考查空间想象能力，属于中档题.

14．【答案】

【解析】取中点，连接，可证明平面，则即为与平面所成角.由线段关系即可求得的正弦值.

详解：取中点，连接，如下图所示：

正三棱柱，，

则，

因为平面，

平面，所以

而，则平面，

则即为与平面所成角.

因为，

所以

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线与平面夹角的求法，找到直线与平面夹角是解决问题的关键，属于中档题.

15．【答案】①②④⑤

【解析】连接BD交AC于O，由正方体的性质结合线面垂直的判定与性质可判断①；由正方体的性质结合线面平行的判定可判断②；作出异面直线所成的角即可判断③；由线面角的概念可判断④；由三棱锥体积公式可判断⑤；即可得解.

详解：对于①，连接BD交AC于O，如图，

由正方体的性质可得，平面，

所以，所以平面，所以，故①正确；

对于②，由正方体的性质可得，所以平面，故②正确；

对于③，连接OE，如图，

由题意结合正方体的性质可得且，

所以四边形为平行四边形，所以，

所以或其补角即为异面直线，所成的角，

由不为定值，可得异面直线，所成的角不为定值，故③错误；

对于④，直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，为定值，

故④正确；

对于⑤，因为，

为定值，点A到平面即平面的距离为定值，

所以以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了正方体几何特征．异面直线的夹角．线面位置关系及几何体体积，考查了空间思维能力，属于中档题.