高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直课堂检测

【优编】5.1 直线与平面垂直-1作业练习

一．填空题

1．已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.

2．如图，已知正四面体的棱长为2，动点在四面体侧面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长度为__________.

3．如图，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：

①与所成角的正切值是；

②；

③是；

④平面平面；

⑤直线与平面所成角为30°.

其中正确的有________.（填写你认为正确的序号）

4．已知．a，b，c是三条不同的直线，是一个平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中所有真命题的序号是_____．

5．已知三棱锥中，侧面底面，，，，则三棱锥外接球的半径为______.

6．已知三棱锥，，，，二面角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为___________.

7．在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是______.

①平面②平面

③平面④平面

8．在矩形中，，现将沿矩形的对角线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线与直线垂直；

②存在某个位置，使得直线与直线垂直；

③存在某个位置，使得直线与直线垂直.

其中正确结论的序号是________________.

9．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是                

10．已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________.

11．下列命题中，正确的为________（正确序号全部填上）

（1）空间中，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；

（2）一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角相等或互补；

（3）直线，为异面直线，所成角的大小为，过空间一点作直线，使l与直线及直线都成相等的角，这样的直线可作3条；

（4）直线与平面相交，过直线可作唯一的平面与平面垂直．

12．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与面所成的角为______.

13．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为,且,则与底面ABCD所成角的正切值为________.

14．如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）

15．在三棱柱中，侧棱平面，，底面是边长为4的正三角形，则此三棱柱的体积为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.

详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，

将四面体补成直三棱柱，

设，的外心分别为，，则点为线段的中点，

根据直棱柱特征可得：面

根据题意画出图象，如图：

可得：，

在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)

根据为的外心，可得为外接圆半径

即，

面，面

故为直角三角形

在中，根据勾股定理可得：，

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.

2．【答案】

【解析】取PA的中点E，连接EB，EC，推出PA⊥平面BCE，故点M的轨迹为线段CE，解出即可．

详解：取PA的中点E，连接EB，EC，因为几何体是正四面体P﹣ABC，所以BE⊥PA，EC⊥PA，EB∩EC＝E，

∴PA⊥平面BCE，且动点在正四面体侧面上运动，总保持，∴点M的轨迹为线段CE，

正四面体P﹣ABC的棱长为2，在等边三角形PAC中求得CE＝.

故答案为：

【点睛】

本题考查了正四面体的性质和线面垂直与线线垂直的判定，判断轨迹是解题的关键，属于中档题．

3．【答案】①②④⑤

【解析】由可得为与所成角，计算出长度后即可判断①；由线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可判断②；由三棱锥体积公式即可判断③；由面面垂直的判定即可判断④；由线面角的求解方法即可判断⑤；即可得解.

详解：由题意，，，平面，

∴，，

由于，∴为与所成角，

∵，，，∴，∴，故①正确；

连接交于，由，平面，平面，

∴，∴平面，∴，故②正确；

，故③错误；

∵平面，平面，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面，故④正确；

由②知平面，连接，

则即为直线与平面所成角，

在中，，，

∴，则，故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题综合考查了线线．线面．面面关系的求解，考查了三棱锥体积的求解，属于中档题.

4．【答案】①④

【解析】根据线线，线面的位置关系分别判断选项，①显然成立；②将线线的位置关系放在正方体中研究问题；③不满足线面垂直的判断定理；④根据线面垂直的性质定理判断选项.

详解：因为，所以，所以①是真命题．如图，在正方体中，令，平面为平面，满足，但此时a与c相交，所以②是假命题．满足，但直线，所以③是假命题．，若过直线b作一个平面与相交，且交线为l，则，因为，所以，又，所以，故④是真命题．综上可知，所有真命题的序号是①④．

故答案为：①④

【点睛】

本题考查线线，线面的位置关系的判断，属于基础题型.

5．【答案】

【解析】设三棱锥外接球球心为，半径为，如图所示作辅助线，设，则，解得答案.

详解：设三棱锥外接球球心为，半径为，

，故在平面的投影为中点，为中点，

，故，侧面底面，故底面.

连接，作于，易知为矩形，设，

则，，，，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6．【答案】

【解析】取中点为，连结，，∵，，

∴，，∴就是二面角的平面角，

∵，∴，

∴∴，

所以，，与都是直角，

所以该三棱锥的外接球球心是的中点，

7．【答案】④

【解析】①②③错误，采用反证，假设正确，再根据线面垂直，线面平行的性质推出矛盾；④先证明，再对称考虑有，最后通过线面垂直的判定推出结论.

详解：①连接，，有，，故平面.假设平面,则有，而，故平面，于是，矛盾，所以此命题错误.

②设与交于，则，，故四边形是平行四边形，所以有.假设平面，因在平面上，故也在平面上，而直线直线和为异面直线，矛盾，所以此命题错误.

③假设平面，则必有，而又有，故平面.于是有，矛盾，所以此命题错误.

④连接，则有，又因为，所以有，故.是的中点，由正方形性质，，，三点共线.所以平面即是平面，同理设的中点为，则，于是有平面，故平面.

故本题的答案为：④

【点睛】

此题考查空间线面平行，线面垂直等知识，属于较难题.

8．【答案】②

【解析】如下图，若 ，已知 ，那么平面，则，这与矛盾，点不会重合，所以①不正确；若 ，已知中 ，则平面，点在平面内的射影落在线段上，并且 ，所以存在某个位置使；所以②成立；若，已知，所以平面，即 ，那，这与已知矛盾，所以③不正确.

9．【答案】

【解析】取的中点，因为正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，易证，因为是的中点，所以,又，所以，所以所以异面直线所成的角的大小是.

考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.

点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角.

10．【答案】

【解析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果.

详解：

平面，平面   

又    异面直线与之间距离为

故答案为

【点睛】

本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.

11．【答案】（1）（3）

【解析】（1）利用等角定理，即可判断正误；

（2）列举反例，即可得出结论；

（3）利用异面直线所成角，即可判断正误；

（4）列举反例，即可得出结论.

详解：（1）空间中，若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，

则由等角定理知，这两个角相等或互补，所以（1）正确；

（2）如图，平面，，两两垂直，，且，，

过直线作平面，此时，，

二面角为，而满足条件的平面有无穷多个，所以二面角无法确定，

所以（2）错误；

（3）直线，为异面直线，所成角的大小为，过空间一点作直线，

设直线l与直线及直线都成相等的角，

若，可作0条；

若，可作1条；

若，可作2条；

若，可作3条；

若，可作4条；

若，可作1条，

所以（3）正确；

（4）若直线与平面垂直，过直线可作无数个平面与平面垂直，所以（4）错误.

故答案为：（1）（3）.

【点睛】

本题考查等角定理的应用．二面角的概念．平面与平面垂直的判定定理及异面直线所成角，属于中档题.

12．【答案】

【解析】取的中点，连接．，证明出平面，可得出直线与面所成的角为，计算出和，进而可求得.

详解：如下图所示，取的中点，连接．，

为等边三角形，为的中点，则，

平面，平面，，

又，平面，直线与面所成的角为，

易得，，

在中，，为锐角，则.

因此，直线与平面所成的角为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角的计算，考查计算能力，属于中等题.

13．【答案】3

【解析】求出直四棱柱的外接球半径,从而,由平面,得是与底面所成角,由此能求出与底面所成角的正切值

详解：解：底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为,

且,

所以直四棱柱的外接球的半径,

,解得,

,

平面,

是与底面所成角,

与底面所成角的正切值为3

故答案为:3

【点睛】

点评本题考查线面角的正切值的求法,考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题

14．【答案】①②③

【解析】①因为在正方体中有, ,且平面,平面,所以 平面,同理得平面,

又,所以平面平面,

又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;

②因为平面，所以在平面内的射影为，

因为，根据三垂线定理可得，

同理可得，

因为，

所以平面，

因为平面，所以平面平面，所以②正确；

③由①知平面，所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积不变，所以③正确；

④由②知平面，而与交于，所以与平面不垂直，所以④不正确。

故答案为:①②③

15．【答案】

【解析】由已知可得并求出其值，进而求出的面积，利用，结合已知求出，即可得出结论.

详解：平面，，

，

取中点，连，则，

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱柱的体积，注意柱体和椎体体积间的关系，以及等体积法的应用，属于中档题.