北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直练习

【精编】5.2 平面与平面垂直-1课时练习

一．填空题

1．三棱锥中，⊥平面，,,，则三棱锥的外接球的表面积为_____.

2．如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______.

3．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直且相等，是中点，则与平面所成角的大小是______.（结果用反三角函数值表示）

4．所在平面外一点P到三角形三个顶点距离相等,那么点P在平面内的射影一定是的_______.

5．在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积是_______．

6．设表示平面,表示直线,给定下列四个命题：

①②

③④

其中正确的命题是___________(填序号).

7．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3.则其外接球的体积为________.

8．如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为1，四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方，如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的取值范围为______.

9．在空间四边形ABCD中,AC=BC,AD=BD,则异面直线AB与CD所成角的大小为_______.

10．正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是______．

11．在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为________.

12．已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．

13．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则的面积的最小值为________.

14．如图，正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点到直线距离为______.

15．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题设位置关系，可知以为长．宽．高的长方体的外接球就是三棱锥的外接球，根据这一特点进行计算.

【详解】

设外接球的半径为，则

∴

【点睛】

对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径.

2．【答案】

【解析】因为C1到平面BB1D1D（即三棱锥底面O1MH）的距离为定值，所以当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥的体积最小，将平面BB1D1D单独画图可得，当点M在点B处时，△O1MH的面积有最小值，求出三棱锥的体积即可。

【详解】

因为直四棱柱ABCD？A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60°，边长为1，

∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，

∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，

∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，

∴当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥的体积有最小值。

将平面BB1D1D单独画图可得，

当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值。

过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大。

即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值。

连接O1B, 则O1B=OB1==，

∴B1到O1B的距离d===，

∵OH=3HB1，

∴H到直线O1B的距离为d=。

∴===，

∴===。

故答案为：。

【点睛】

本题考查了四棱柱的结构特征和三棱锥的体积计算，动态动点的最值问题需要先确定点的位置，属于较难题。

3．【答案】

【解析】根据题意及线面垂直的判定定理可得平面，即可分析得点在底面的射影在上，即可找到线面角，结合余弦定理即可求解.

【详解】

连接,因为三条侧棱，，两两垂直且相等，是中点，所以为正三角形，所以,所以平面,过点作交于点，则,平面，所以即为与平面所成的角，不妨设侧棱长为2，则,在中，由余弦定理可得，,所以与平面所成的角为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查线面角的求法，属于基础题.

4．【答案】外心

【解析】由所在平面外一点P到三角形三个顶点距离相等可得,斜线在底面的射影相等;由三角形外心的性质可得是的外心.

【详解】

作图如下:

由题意可得,

,

面,

,

故,

,

故答案为:外心

【点睛】

本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义;属于中档题；

三角形外心是三角形外接圆的圆心,亦是三角形三边垂直平分线的交点;其性质:到三角形三个顶点的距离相等.

5．【答案】

【解析】由△PAB为等边三角形，且平面可知，，即可找到球心所在的位置，列出等量关系即可求出半径.

【详解】

∵，，∴平面．设是外接球球心，是的中心， 平面，则，，则，故四面体外接球的表面积是．

【点睛】

“切”“接”问题处理的注意事项

(1)“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

(2)“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

6．【答案】②④

【解析】利用线面垂直的判定方法．线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法．性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.

【详解】

对于①,

与平行．相交或，

故①错误;

对于②,

,

由直线与平面垂直的性质：

两条直线平行,

其中一条直线垂直与一个平面,

则另外一条直线也垂直此平面.

.

故②正确;

对于③,

,

由线面垂直的性质可得,

或,

故③错误;

对于④,

，

由垂直于同一平面的两直线平行,

，

故④正确;

故答案为: ②④

【点睛】

本题考查立体几何中的线面垂直的判定．线面垂直的性质和线面平行的判定．线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;

7．【答案】

【解析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.

【详解】

如图所示：

设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.

8．【答案】

【解析】用极限法思考.当直线平面时, 有最小值,当直线平面时, 有最大值,这样就可以求出函数的取值范围.

【详解】

取的中点,连接,,,于是有

平面,所以,，其余的棱长均为1,所以

,到的距离为,

当直线平面时,有最小值,最小值为：；

当直线平面时, 有最大值,最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力.

9．【答案】

【解析】取的中点，证明面，即可得出结果．

【详解】

解：如图，取的中点，连结

，

又，

面，又，

，

异面直线AB与CD所成角的大小为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，可通过证明线面垂直得到，是基础题．

10．【答案】

【解析】利用正方体的性质．线面垂直的判定与性质以及线面角的定义即可得出．

【详解】

如下图所示，

连接．，则，．

，平面，平面，.

体对角线与面对角线所成角为.

设正方体的棱长为，则，，.

体对角线与面对角线所成角为．

正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正方体的性质．线面垂直的判定与性质，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

11．【答案】

【解析】为二面角的一个面内一点.是它到另一个面的距离,,是它到棱的距离.得出为二面角的平面角,在中求解即可.

【详解】

作图如下:

为二面角的一个面内一点.

是它到另一个面的距离,

,

是它到棱的距离.

,

，

又，

平面,

得出,

所以为二面角的平面角,

.

在中,

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定和性质及二面角的平面角的定义;把语言文字转化为数学图形是求解本题的关键;属于中档题;考查学生的空间想象能力.

12．【答案】

【解析】根据,可知△ 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC的中点,连,可知平面,根据 为的中点可知 平面,所以 为四面体的高,根据四面体的体积可求得,在直角三角形 中由勾股定理可求得外接球的直径,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.

【详解】

如图:在三角形ABC中,因为,所以△ 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以 为四面体的高.

所以,解得.所以.

所以四面体的外接球的半径为2,表面积为=.

【点睛】

本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到

平面是解题关键.属于中档题.

13．【答案】

【解析】作于,于,连接,由题意可得,,，易得平面,即,故求面积的最小值转化为求出的最小值即可.

【详解】

作图如下：

作于,

于,

连接,

在鳖臑中，

平面，

且有，

，

，

所以,

,

易得,

,

又,

故平面,

所以,

，

即,

所以.

设,

则,

因为,

所以,

当时,

最小为.

因为,

所以最小为时,

有最小值为.

故答案为:

【点睛】

本题重点考查线面垂直的判定与性质的灵活运用,通过作辅助线把求面积的最小值转化为求的最小值和得到等量关系是求解本题的关键;属于综合性强型试题.

14．【答案】

【解析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，即可求解.

【详解】

由为正三棱柱可知，为正三角形，且,取的中点为，连接,所以,所以即为二面角的平面角，所以，在中，所以点到直线距离为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二面角的平面角的作法，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.

15．【答案】

【解析】先由线面垂直判定定理，得到平面，推出为与平面所成角，再由题中数据，即可得出结果.

【详解】

因为平面，所以；

又四面体四个面均为直角三角形，，

所以，

又，平面，平面；

所以平面，所以，

因此为与平面所成角，

又，

所以，

因此与平面所成角大小为

【点睛】

本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.