初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式精品同步训练题

第1周：二次根式-2020-2021学年下学期周末补习培优八年级数学（人教版）

一、单选题

1．己知，则的值是（    ）．

A． B．3 C．5 D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质求出a=17，b=-8，再代入计算即可．

【详解】∵a-170，17-a0，

∴a=17，

∴b+8=0，

解得b=-8，

∴=，

故选：C．

【点评】此题考查二次根式的性质，化简二次根式，熟记二次根式的性质是解题的关键．

2．化简得（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分数的性质，在分子分母同乘以2，再根据二次根式的性质化简即可．

【详解】，

故选：B．

【点评】此题考查化简二次根式，掌握分数的性质确定分子分母同乘以最小的数值，使分母化为一个数的平方，由此化简二次根式是解题的关键．

3．已知0<x<3，化简-|x-5|的结果是（    ）

A．3x-4 B．x-4 C．3x+6 D．-x+6

【答案】A

【分析】先根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可．

【详解】解：∵0<x<3

∴2x+1＞0，x-5＜0

∴-|x-5|

=2x+1+x-5

=3x-4．

故答案为A．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负是解答本题的关键．

4．如果，那么下列叙述正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式的性质可得a-2≤0，求出a的取值范围，即可得出答案．

【详解】解：，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．

5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ）．

A．-b B．2a C．-2a D．-2a-b

【答案】A

【分析】根据数轴得b<a<0，判断a+b<0，即可化简绝对值及二次根式，计算加减法即可得到答案．

【详解】由数轴得b<a<0，

∴a+b<0，

∴

=-a-b+a

=-b，

故选：A．

【点评】此题考查数轴与数的表示，利用数轴比较数的大小，化简绝对值，化简二次根式，依据数轴化简绝对值及二次根式是解题的关键．

6．若，则等于(        )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据给二次根式开方，得到，再计算结果就容易了．

【详解】解：∵，

∴

．

故选：D

【点评】本题考查了化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数．

7．已知y＝，那么的值等于（　 　）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入代数式计算即可．

【详解】解：因为y＝

+10，可知，

即，解得x＝1，所以y＝10；

所以，＝＝﹣＝﹣．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的意义．解决此题的关键是要先根据二次根式意义求出x，y的值再代入所求的代数式中求值．

8．化简x，正确的是（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【答案】C

【分析】根据二次根式有意义的条件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x =﹣•=﹣.

故选C．

9．给出下列结论：①在3和4之间；②中的取值范围是；③的平方根是3；④；⑤．其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据估算出的大小、二次根式的意义、算术平方根、无理数比较大小方法，即可解答．

【详解】解：①，

，

故①错误；

②因为二次根式中的取值范围是，故②正确；

③，9的平方根是，故③错误；

④，故④错误；

⑤∵，，

∴，即，故⑤错误；

综上所述：正确的有②，共1个，

故选：．

【点评】本题考查了故算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算平方法比较无理数大小．

10．如果关于x的不等式组的解集为，且式子的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（    ）．

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得出m≤2，再由式子的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．

【详解】解：解不等式得x＞m，
解不等式得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．

二、填空题

11．若，则=________．

【答案】16

【分析】根据二次根式有意义的条件求得x的值，再求出y的值，再代入求解即可．

【详解】∵要使、有意义，

∴2-x≥0，x-2≥0，

∴x=2，

∴y=4，

把x=2，y=4代入=．

故答案为：16．

【点评】考查了二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件求得x=2．

12．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_____．

【答案】15

【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．

【详解】∵实数x，y满足，

∴x＝3，y＝6，

∵3、3、6不能组成三角形，

∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，

∴等腰三角形周长为：3＋6＋6＝15，

故答案是：15．

【点评】本题考查了等腰三角形的定义、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．

13．已知关于x的不等式的解集为，化简的结果为______．

【答案】

【分析】根据不等式的性质得到，再根据二次根式的性质化简即可．

【详解】∵的解集为，

∴，

∴．

故答案为：-a-2．

【点评】此题考查不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，以及二次根式的性质及化简，掌握不等式的性质是解题的关键．

14．已知，当分别取时，所对应的值的总和是_________．

【答案】2022

【分析】将原式化简为，然后根据x的不同取值，求出y的值，最后把所有的y值加起来即可．

【详解】解：，

当时，，

当时，，

当时，，

∴当分别取时，所有值的总和是：．

故答案是：2022．

【点评】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．

15．实数a、b满足，则的最大值为_________．

【答案】52．

【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．

【详解】解：∵，

即，

∴，

∴，

∵，，

∴ ，，

∴2≤a≤6，-4≤b≤2，

∴的最大值为，

故答案为52．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

三、解答题

16．（1）设是给定的正整数，化简：；

（2）计算：的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据完全平方公式，可得，根据开方运算，可得；

（2）根据，可化简二次根式，根据分式的加减运算，可得答案．

【详解】（1）∵

，

∴；

（2）∵，

∴

．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出是解题关键．

17．先阅读材料，然后回答问题．

（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

①

②

③

④

在上述化简过程中，第     步出现了错误，化简的正确结果为              ；

（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②．

【答案】（1）④；；（2）①；②

【分析】（1）第④步出现了错误，==．

（2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．

【详解】解：（1）第④步出现了错误；

=

=．

（2）①

=

=

=．

②

=

=

．

【点评】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键．

18．已知满足．

（1）有意义，的取值范围是      ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得       

（2）根据（1）的分析，求的值．

【答案】（1）；；（2）2020

【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.

（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.

【详解】解：（1）∵有意义，

∴，

∴；

∴，

∴；

故答案为：；；

（2）由（1）可知，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.

19．已知A（a，0），B（0，b），且a、b满足.

（1）填空：a=     ，b=     ；

（2）如图1，将ΔAOB沿x轴翻折得ΔAOC，D为线段AB上一动点，OE⊥OD交AC于点E，求S四边形ODAE。

（3）如图2，D为AB上一点，过点B作BF⊥OD于点G，交x轴于点F，点H为x轴正半轴上一点，∠BFO=∠DHO，求证：AF=OH.

【答案】(1)a=-3,b=3;(2)4.5;(3)见解析.

【分析】（1）根据二次根式的性质及绝对值的非负性可得：a+3=0，a+b=0，求出a、b即可；

（2）根据条件先证明△BOD≌△AOE，然后将四边形ODAE的面积转化为△AOB的面积进行计算即可；

（3）过点O作OP平分∠AOB交BF于P，先证明△BOP≌△OAD，推出OP=AD，再证明△PFO≌△DHA，利用全等的性质即可得出结论.

【详解】解：（1）∵a、b满足，

∴a+3=0，a+b=0，

∴a=－3，b=3；

（2）∵由（1）知：A（－3，0），B（0，3）

∴OA=OB=3

∵△AOB沿x轴翻折得△AOC

∴OA=OB=OC，∠AOB＝∠AOC=90°

∴∠ABO＝∠BAO=∠CAO=45°

又∵OE⊥OD，且∠BOD+∠AOD =∠AOB=90°

∴∠AOE+∠AOD=∠BOD+∠AOD=90°

∴∠AOE=∠BOD

∵∠DBO＝∠EAO，OB＝OA,∠BOD＝∠AOE

∴△BOD≌△AOE（ASA）

∴S△AOE=S△BOD

∴S四边形ODAE＝S△AOE + S△AOD = S△BOD + S△AOD =S△AOB＝；

（3）过点O作OP平分∠AOB交BF于P，

∵OP平分∠AOB且OA=OB

∴∠AOP=∠BOP=45°

∴∠AOP=∠BOP=∠OAD

∵BG⊥OD 

∴∠OBP+∠BOG=90°

又∵∠AOD+∠BOG=90°

∴∠OBP=∠AOD

∵OB＝OA

∴△BOP≌△OAD（ASA）

∴OP=AD

又∵∠PFO=∠DHO，∠FOP=∠HAD=45°

∴△PFO≌△DHA（AAS）

∴OF＝AH

∴OF－OA=AH－OA，即AF＝OH.

【点评】本题考查了二次根式和绝对值的非负性、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题关键.

20．先化简，再求值：，其中.

【答案】，

【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．

【详解】解：原式

当时，

原式

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．

21．已知，，求代数式的值.

【答案】-5

【分析】根据平方根的定义，以及立方根的定义即可求得，的值，然后代入所求的代数式化简求值即可．

【详解】解：，

，

则或，

又，即．

则．

，

，

．

则，

，

，

，

【点评】本题考查了平方根、立方根的定义，正确对根式化简是关键．

22．若，求的值.

【答案】.

【分析】把整理为，利用非负数的性质可得，，，由此求得，，.代入即可求得的值.

【详解】，

，

，

则.

因为，，.

所以，，.

即，，.

所以.

【点评】本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质，利用完全平方公式把整理为是解决问题的关键.

23．化简求值：，其中 - 2．

【答案】，-21

【分析】先通过乘法公式和整式的混合运算法则，化简，再根据二次根式的非负性，求出x，y的值，代入求解即可．

【详解】原式=

=

=

=，

∵ - 2，

∴x-4≥0,4-x≥0，即：x=4，

∴，

∴原式==

【点评】本题主要考查整式的化简求值以及二次根式的非负性，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算法则，是解题的关键．

24．先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？

解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．

解答问题：已知y2，求xy的值．

【答案】

【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案．

【详解】解：∵y2，

∴1﹣2x≥0，2x﹣1≤0，

解得x，

则y＝2，

所以，xy＝（）2．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意算术平方根的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零．

25．已知，求代数式

的值．

【答案】

【分析】根据负数没有平方根求出n的值，从而求得m的值，所求式子第一项利用多项式乘以多项式法则计算，第二项利用完全平方公式展开，最后一项先计算乘方运算，再利用多项式除以单项式法则计算，得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．

【详解】解：原式=

=

=

∵，

∴

即n=2，所以，

原式=．

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，以及二次根式有意义的条件，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，完全平方公式，多项式除以单项式法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．