人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理精品习题

第6周：勾股定理的逆定理-2020-2021学年下学期周末补习培优八年级数学（人教版）

一、单选题

1．已知实数a，b为的两边，且满足，第三边，则第三边c上的高的值是   

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．

【详解】解：整理得，，

所以，

解得；

因为，

，

所以，

所以是直角三角形，，

设第三边c上的高的值是h，

则的面积，

所以．

故选：D．

【点评】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

2．有四个三角形，分别满足下列条件，其中不是直角三角形的是（　　）

A．一个内角等于另外两个内角之和

B．三个内角之比为3：4：5

C．三边之比为5：12：13

D．三边长分别为7、24、25

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理即可进行判断，从而得到答案．

【详解】解：A、设一个内角为x，则另外两个内角之和为x，则x+x＝180°，解得x=90°，故是直角三角形；

B、设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则3x+4x+5x＝180°，解得x=15°，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；

C、因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

D、因为72+242＝252符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．

故选：B．

【点评】本题考查三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

3．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．

【详解】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；

B、因为∠C=∠A-∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形；

C、因为a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；

D、因为a：b：c=6：8：10，设a=6x，b=8x，c=10x，（6x）2+（8x）2=（10x）2，故△ABC是直角三角形．

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．

4．如图，在等腰Rt△ABC，，是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为（　　　）

A．10 B．16 C．40 D．80

【答案】C

【分析】连结OO′．先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，则O′O=8．再利用勾股定理的逆定理证明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那么根据S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解．

【详解】解：如图，连结OO′．

∵△CBO≌△ABO′，
∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，
∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，
∴∠O′BO=90°，
∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，
∴O′O=8．
在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，
∴OA2+O′O2=O′A2，
∴∠AOO′=90°，
∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．

5．若的三边a、b、c满足，则的面积是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．

【详解】解：∵，

∴，

解得，

又∵，

∴△ABC为直角三角形，

∴．

故选：B．

【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键．

6．已知的三边，，满足：，则边上的高为（  ）

A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.8

【答案】C

【分析】先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出、b、c的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c边上的高，利用面积求解即可．

【详解】解：变形得，

，

，，，

解得：，，，

，

是直角三角形，

设C边上的高为h，

由直角三角形ABC的面积为：，

整理得，

边上的高为：，

故选择：．

【点评】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求、b、c的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．

7．如图，在的正方形网格中，的度数是（ ）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°

【答案】C

【分析】连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证为直角三角形，而AM=BM，即为等腰直角三角形，据此即可求解．

【详解】连接AB

∵，，

∴

∴为等腰直角三角形

∴

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明为直角三角形．

8．△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（    ）．

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【答案】D

【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．

【详解】∵

又∵

∴

∴

∴

∴△ABC为直角三角形

故选：D．

【点评】本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．

9．△ABC的三边分别为，下列条件能推出△ABC是直角三角形的有（    ）

①;②;③ ∠A＝∠B∠C; ④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 ;⑤;⑥

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.

【详解】解：∵，得，符合勾股定理逆定理，则①正确；

∵，得到，符合勾股定理逆定理，则②正确；

∵∠A＝∠B∠C，得∠B=∠A+∠C，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=90°，故③正确；

∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，

∴，故④正确；

∵，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；

∵，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；

∴能构成直角三角形的有5个；

故选择：D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.

10．适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为      

①②，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°；

④⑤⑥

⑦⑹

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：，故①不能构成直角三角形；

当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；

根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；

根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；

由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；

令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；

根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；

由a2=5，b2=20，c2=25，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.

故选：C.

【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.

二、填空题

11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8，则四边形ABCD的面积为__．

【答案】4+16．

【分析】连接BD，构造等边三角形和直角三角形，分别求这两个三角形的面积，相加即可．

【详解】连接BD．

∵AD＝AB＝4，∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝AD＝4，

∵BC＝，CD＝8，

∴BC2＝BD2+CD2，

∴∠BDC＝90°，

∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝×42+×4×8＝4+16，

故答案为4+16．

【点评】本题考查了等边三角形、勾股定理逆定理以及特殊三角形面积的求法，根据题意，添加适当的辅助线，构造特殊三角形是解题关键．

12．如图所示的网格是正方形网格，则__________°（点，，是网格线交点）．

【答案】45

【分析】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ，只需证△ADC是等腰直角三角形即可

【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD

设正方形网络每一小格的长度为1

则根据网络，AB=，AD=，CD=，BC=5，∴BD=2

其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理

∴∠CDA=90°

∵AD=DC

∴△ADC是等腰直角三角形

∴∠DAC=45°

故答案为：45°

【点评】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD

13．如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．

【答案】

【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．

【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，

∵是边中点，

∴BD＝CD，

又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝6，

又∵AB＝10，

∴AE2＋BE2＝AB2，

∴∠E＝90°，

∴在Rt△BED中，，

∴BC＝2BD＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．

14．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．

【答案】17，144，145

【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．

【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，

继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1，

所以有，解得，，即第8组勾股数为17，144，145.

故答案为17，144，145.

【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．

15．如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上，则_________．

【答案】45°

【分析】延长BA到格点D，得到，根据勾股定理求出AD、CD、AC长度，再进一步证明△ADC为等腰直角三角形，问题得解．

【详解】解：如图，延长BA到格点D，

则，

根据勾股定理得，

，

，

∴AD=CD，，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=∠DCA=45°，

∴．

故答案为：45°．

【点评】本题考查了勾股定理与逆定理，理解两个定理是解题关键．

三、解答题

16．如图，在中，，点D是BC的中点，连接AD，，BE分别交AC，AD于点E、，若，求AF的长度．

【答案】

【分析】根据点D是BC的中点得到BD=5 ，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF=5，最后由线段的差可得结论．

【详解】解：，

，

，

，

中，，

，

中，，

是等腰直角三角形，

，

．

【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，结合题干中条件找出对应量是关键．

17．如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．

（1）求BE的长；

（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为            ．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ABC是直角三角形，，连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得，在中利用勾股定理列出方程即可求解；

（2）根据题意画出图形，若使的值最小，则A，M，N共线，且，利用全等三角形的判定与性质即可求解．

【详解】解：（1）连接AE，

，

∵，，

∴，

∴ABC是直角三角形，，

∵DE垂直平分AC，

∴，

在中，，即，

∴，解得；

（2）∵DE垂直平分AC，M是DF上一动点，

∴，

∴，

若使的值最小，则A，M，N共线，且，如图，

，

在和中，

，

∴≌，

∴．

【点评】本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．

18．为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，．

（1）判断的形状，并说明理由．

（2）求线段的长．

【答案】（1）是直角三角形；理由见解析；（2）线段的长为16.9．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；

（2）设，则，由勾股定理列得，代入数值得，计算即可．

【详解】解：（1）是直角三角形．

理由：∵，

∴，

∴，

∴，

∴是直角三角形．

（2）设，则，

由（1）可知是直角三角形，

∴，

∴，

解得，

∴线段的长为16.9．

【点评】此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键．

19．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，，，，．

（1）求证：．

（2）求需要绿化部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由AD⊥CD，可得△ACD是直角三角形，根据勾股定理可求出AC=5，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5，可知 ，继而证得∠ACB= ；

（2）根据S阴影=计算即可．

【详解】（1）证明：∵，

∴为直角三角形，

由勾股定理得：，

∵，，

∴，

在中，，

，

，

∴，

∴为直角三角形，

∴．

（2）

答：需要绿化的面积为．

【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

20．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：

（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形；

（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形；

（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段；

（4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解

【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；

（2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可；

（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；

（4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可．

【详解】（1）∵，

∴即为所求；

（2）∵EF=FG=GD=DE=，

∴正方形的面积为13；

（3）HI=；

（4）∵KL=，JL=，JK=，

且

∴是直角三角形，且周长为．

【点评】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

21．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c来表示，且a、b、c满足关系式：+|a﹣b +1|+（c﹣9）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【答案】△ABC是直角三角形；理由见解析．

【分析】先求出a、b、c的值，再通过计算得到a2+c2＝b2，根据勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形．

【详解】解：△ABC是直角三角形．

理由是：据题意得：a﹣40＝0，a﹣b +1＝0，c﹣9＝0，

解得：a＝40，c＝9，b＝41，

∵a2+c2＝402+92＝1681， b2＝412＝1681，

∴a2+c2＝b2，

∴△ABC是直角三角形．

【点评】本题考查了勾股定理逆定理，算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，根据题意求出a、b、c的值是解题关键．

22．如图，已知．

（1）证明： 是直角三角形；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）24

【分析】（1）先利用勾股定理求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理证得结论；

（2）利用求出答案.

【详解】（1）证明∵，由勾股定理得，，∴，

∵，，

∴，

∴是直角三角形；

（2）解：∵是直角三角形，且∠ACB是直角，

∴.

【点评】此题考查利用勾股定理求边长，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，图形面积的和差计算，熟记勾股定理及逆定理是解题的关键.

23．如图，地到，两地分别有笔直的道路，相连，地与地之间有一条河流通过，，，三地的距离如图所示．

（1）如果地在地的正东方向，那么地在地的什么方向？请说明理由．

（2）现计划把河水从河道段的某个点引到地，求，两点间的最短距离，并在图中画出点的位置．

【答案】（1）正北方向，理由见解析；（2），画图见解析

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，且，即可得到答案；

（2）作于点，则的长是，两点间的最短距离，利用面积法求出CD.

【详解】解：（1）∵，

∴是直角三角形，且，

∴地在地的正北方向；

（2）如图，作于点，则的长是，两点间的最短距离，

∵，

∴可得，

解得，

∴，两点间的最短距离为.

【点评】此题考查勾股定理的逆定理，点到直线的所有连线中垂线段最短，正确掌握勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形是解题的关键.

24．阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．

如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE=    ；

理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；

应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时，     ．

【答案】阅读：AD；理解：150°；应用：44

【分析】阅读：根据等边三角形的性质和SAS证明△BCE≌△ACD，即可得出结论；

理解：根据等边三角形的性质和SAS证明△BCE≌△ACD，得出BE＝AD＝5，进而可得出BD2+DE2＝BE2，由勾股定理的逆定理可得∠BDE＝90°，进一步即可求出答案；

应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，如图3，根据等边三角形的性质和SAS可证△ADE≌△BDC，从而可得AE＝BC＝12，易求得∠ACE＝90°，再根据勾股定理即可得出答案．

【详解】解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，

∴∠BCE＝∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD，

故答案为：AD；

理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△BCE和△ACD中，

∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD＝5，

∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，

∴BD2+DE2＝BE2，

∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，

∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；

应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：

则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，

∵△ABD是等边三角形，

∴∠ADB＝60°，AD＝BD，

∴∠ADE＝∠BDC，

∴△ADE≌△BDC（SAS），

∴AE＝BC＝12，

∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，

∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．

故答案为：44．

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识；正确添加辅助线、熟练掌握以上知识是解题的关键．

25．如图1，在平面直角坐标系中，点B（8，0），点C（0，6），点A在x轴负半轴上，且AB＝BC．

（1）求点A的坐标；

（2）如图2，若点E是BC的中点，动点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B匀速运动，设点M的运动时间为t（秒）；

①若△OME的面积为2，求t的值；

②如图3，在点M的运动过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（-2，0）；（2）①或；②当6时，M（4，0）或t＝ ，M（ ，0）．

【分析】（1）由勾股定理求出BC＝10，则OA＝2，可求出答案；

（2）①作EH⊥OA于H，求出EH＝3，当点M在点O的左侧时，OM＝2−t，可得；

当点M在点O的右侧时，OM＝t−2，可得；

②当点M在AO上，即0≤t＜2时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形；

当t＝2时，点M运动到点O，△OME不构成三角形；

当点M在OB上，即2＜t≤10时，当∠OME＝90°时，当∠OEM＝90°时，作EH⊥OB，可求出答案．

【详解】解：（1）∵点B（8，0）、点C（0，6），

∴OB＝8，OC＝6，

∴BC＝

∵AB＝BC＝10，

∴OA＝2，∴A（−2，0）．

（2）①作EH⊥OB于H，

∵在Rt△BOC中，点E为边BC的中点，

∴OE=BE

又∵EH⊥OB

∴H是OB的中点

∴EH＝OC=×6=3

当点M在点O的左侧时，OM＝2−t，

∴×(2−t)×3＝2，

∴；

当点M在点O的右侧时，

OM＝t−2，×(t−2)×3＝2，

∴；

综上所述，若△OME的面积为2，或．

②当点M在AO上，即0≤t＜2时，

△OME为钝角三角形不能成为直角三角形；

当t＝2时，点M运动到点O，△OME不构成三角形，

当点M在OB上，即2＜t≤10，

如图3，当∠OME＝90°时，

∵OE＝BE，

∴OM＝OB=×8=4，

∴t−2＝4，

∴t＝6，M（4，0）；

如图4，当∠OEM＝90°时，作EH⊥OB于H，

∵

∴

∴t= ，M（ ，0）．

综上所述，符合要求时t＝6，M（4，0）或t＝ ，M（ ，0）．

【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确画出图形进行分类讨论是解题的关键．