北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步3 空间点、直线、平面之间的位置关系3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理同步训练题

【名师】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-2作业练习

一．填空题

1．在棱长为1的正方体中，点分别为线段．的中点，则点到平面的距离为______.

2．平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是________

3．在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，则过点，，的平面与底面所成的锐二面角的余弦值为________．

4．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体过点，，的截面图形是______边形.

5．，是两个平面，，是两条直线，对于，，，这四种位置关系，以其中三个关系为条件，余下一个为结论，可以构成的正确命题是________.

6．一个立方体的六个面上分别标有，，，，，，如图是此立方体的两种不同放置，则与面相对的面上的字母为________.

7．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的半径为______.

8．在正方体中，是棱的中点，则直线和平面所成的角的正弦值为_____________.

9．在四棱锥P﹣ABCD中，P﹣BCD是底面边长为2的正三棱锥，E为PC的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则正三棱锥P﹣BCD的侧棱长为_____；若AD⊥PD，AD⊥AB，AC＝_____.

10．已知正方体的棱长为2，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是__________.

11．在正方体中，是底面的中心，，，，分别是棱，，，的中点，请写出一个与垂直的立方体的截面________.（写出一个即可，不必写出全部）

12．正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为    ____   ．

13．若线段AB的端点A，B到平面的距离分别为a，b（），则线段AB的中点M到平面的距离是________.

14．如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上二面角的平面角为，用图中字母表示角为__________，的最小值是__________．

15．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先求出，再利用求出点A到平面EFC的距离得解.

详解：

由题得

所以,

所以.

设点到平面的距离为，则,

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．【答案】相交．异面

【解析】利用线面的位置关系可知，平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是异面或相交．

3．【答案】.

【解析】设正方体上．下底面的中心分别为，，连接，与交于点，连接，与交于点，连接，得到为平面与底面所成二面角的平面角，即可求解．

详解：过，，的平面与，，分别交于点，，，且，，分别为所在棱的中点，如图所示，

则平面与底面所成角的余弦值，即所求角的余弦值，

设正方体上．下底面的中心分别为，，

连接，与交于点，连接，与交于点，

连接，则为平面与底面所成二面角的平面角，

连接，易知，所以，

故，

故所求锐二面角的余弦值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二面角的余弦值，考查考生的空间想象能力．推理论证能力，着重考查了二面角的求解与垂直问题．

4．【答案】五

【解析】画出图形，然后判断即可．

【详解】

正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M．N分别是棱DD1和BB1上的点，MDDD1，NBBB1，

延长C1M交CD于P，延长C1N交CB于Q，连结PQ交AD于E，AB于F，连结NF，ME，则正方体的过M．N．C1的截面图形是五边形．

故答案为：五

【点睛】

本题考查平面与平面的基本性质，考查空间想象能力及截面形状，是基本知识的考查．

5．【答案】，，或，，或，，或，，

【解析】利用线面关系的定义，进行判断，构建正确的命题即可

详解：正确命题有4个：（1），，；（2），，；（3），，；（4），，

故答案为：，，或，，或，，或，，

【点睛】

本题考查线面关系，属于基础题.

6．【答案】

【解析】观察图形，根据正方体的几何特征即可求解.

详解：根据两个图形的字母，结合模型，可推断出来，A对面是E；B对面是C；则与D面相对的面上的字母是 F．

故答案为：F

【点睛】

本题主要考查正方体的几何特征，考查学生的推理判断能力，属于简单题.

7．【答案】

【解析】由题意得 ，得到 ，取 中点为， 中点为 ，得到为的二面角的平面角，得到，再根据球心的性质，分别过与作平面与平面的垂线，交点即为球心．

【详解】

解：如图，

由题意得,得到 ，取 中点为，

中点为 ，得到为的二面角的平面角，得到,设三角形的外心为,则,, 分别过与作平面与平面的垂线，交点即为球心,设为，在四边形中,连接,在和中， ,所以，所以,所以 ,所以，所以，

故答案为：

【点睛】

本题考查了几何体的外接球半径的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，属于中档题．

8．【答案】

【解析】作出直线和平面所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值.

【详解】

设为的中点，连接，根据正方体的性质可知平面，所以是直线和平面所成的角.设正方体的边长为，在中，，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.

9．【答案】4     

【解析】如图，记为的中点，点为的中点，利用已知条件先找到异面直线所成角，再作平行四边形，设，由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”和得出的值，再利用线面垂直和面面垂直关系得出四边形为矩形，最后利用勾股定理即可得出结论.

详解：

如图，记为的中点，点为的中点，

则为的中位线，

所以，

则为异面直线与所成的角；

作平行四边形，设，

由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”，

得，

即，

得；

因为，

所以，

解得；

易证面面，，

所以可推出面，可得；

因为，

所以四边形为矩形，

因为的边长为，

所以，

故.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查利用异面直线成角，平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和以及利用线面垂直和面面垂直关系解决问题.属于中档题.

10．【答案】

【解析】根据正方体的性质，结合线面角的定义，判断出平面的位置情况，最后根据正投影的定义．菱形的面积公式进行求解即可.

详解：正方体中所有的棱是三组平行的棱，如图所示：

图中的正三角形所在的平面或者与该平面平行的平面为平面，满足与正方体每条棱所在直线所成的角相等，

正三角形是平面截正方体所形成三角形截面中，截面面积最大者，正方体的棱长为2，

所以正三角形的边长为：，正方体中，

三个面在平面的内的正投影是三个全等的菱形，如下图所示：

可以看成两个边长为的等边三角形，

所以正方体在平面内的正投影面积是：

.

故答案为；

【点睛】

本题考查了直线与平面所成的角的定义，考查了空间想象能力和数学运算能力.

11．【答案】（或或）

【解析】连接，，证明，再利用勾股定理证明，得到答案.

详解：如图所示：连接，，

易知，，故平面，平面，故，

设正方体边长为，

则，，

，故，故，

，故平面.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了线面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.

12．【答案】

【解析】连接,则为与平面所成角，在中，

考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.

点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

13．【答案】或

【解析】按照端点A，B位于平面的同侧还是异侧分两种情况讨论可得答案.

【详解】

当端点A，B位于平面的同侧时，M到平面的距离是；

当端点A，B位于平面的异侧时，M到平面的距离是.

故答案为：或

【点睛】

本题考查了分类讨论思想，考查了点到平面的距离，属于基础题.

14．【答案】     

【解析】根据题意：连结和，因为则，因为则即可得为二面角的平面角，利用直线与平面的位置关系，从而判断的最小值.

详解：连结和，如图

因为则，

因为则，

即可得为二面角的平面角，

设正方体的边长为2，

当点与重合时，则，

由余弦定理可得：，

则为锐角且，

当点与重合时，则，

由余弦定理可得：

则为钝角且，

由此可判断当点从运动到时，从锐角到钝角，

则先增大后减小，

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查了二面角的平面角定义以及求二面角的三角函数值，考查了学生的推理和计算能力，属于较难题.

15．【答案】

【解析】根据折叠关系找出与有关的几何关系，得出点的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫过的弧长即可求解.

详解：

在折叠后的图中，作垂足为，连接，根据三垂线定理，，

所以就是二面角的平面角为，，

根据折叠关系，与全等，对应边上的高位置相同，即在线段上，

且是线段的中点，取的中点，连接，则，

所以点的轨迹为以为直径的圆的一部分，当从运动到，点在圆周上从点运动到

，这段弧所对圆心角为，这段弧长为.

故答案为：

【点睛】

此题考查折叠问题与二面角和投影的轨迹问题，关键在于通过几何关系进行转化得出动点的轨迹.