北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理随堂练习题

【特供】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-2课堂练习

一．填空题

1．下列命题中正确的个数为______．

①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，，，则，，三点共线；

②若三条直线，，互相平行且分别交直线于，，三点，则这四条直线共面；

③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．

2．设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.

3．在正方体中，二面角平面角的正切值为______.

4．空间不共线的四点，可能确定___________个平面．

5．已知直三棱柱所有的棱长都相等，D，E分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______________

6．若，分别为四棱柱的棱，的中点，则加上条件________，就可得结论：平面.（写出你认为正确的一个条件）

7．如图，六边形的六个内角均相等，，M，N分别是线段，上的动点，且满足，现将，折起，使得B，F重合于点G，则二面角的余弦值的取值范围是______.

8．已知正方体的棱长为3，动点在正方体的表面上运动，且与点的距离为．动点的集合形成一条曲线，则整条曲线的周长是________．

9．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为，，，且，，成等差数列．若其对角线长为，则的最大值为_________．

10．给出下面四个命题：

①“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；

②“直线直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；

③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；

④“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.

其中正确命题的序号是____________________

11．平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是________

12．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为______.

13．一个立方体的六个面上分别标有，，，，，，如图是此立方体的两种不同放置，则与面相对的面上的字母为________.

14．下列推理正确的是______.

①，，，

②，

③，

④，

⑤，

15．分别是三棱锥的棱的中点，，，则异面直线与所成的角为_____.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】根据公理2及公理1可证①成立，根据公理3及其推论可证②成立，通过反例可得③不成立，从而可得③错误.

详解：对于①，因为，平面，因此平面，

同理平面，平面，故三点共线.故①正确.

对于②，如图

因为，故可确定一个平面，因为，

，故，所以.

在平面内过作直线，因为，故重合或者，

但，从而重合，也就是这四条直线共面，故②正确.

对于③，以四棱锥为例，

五点不共面，但这个五个点确定了7个平面，它们分别为：

平面．平面．平面．平面．平面．平面．平面， 故③错误.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查公理1．公理2．公理3及其推论的应用，其中公理1解决了线在面内的问题，公理2解决了点共线，线共点的问题，而公理3及其推论则解决了点．线共面的问题.

2．【答案】[0，].

【解析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，由此能求出角的取值范围．

详解：解：是直线与平面所成的角，

当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，

当直线与平面垂直时，取最大值，

角的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

3．【答案】

【解析】采用数形结合，取的中点，可得二面角的平面角为，然后简单计算，可得结果.

详解：如图

取的中点，连接

在正方体中，可知

所以，

所以二面角的平面角为

设，所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查二面角平面角的正切值，关键在于通过图形正确找到该角，考查对概念的理解，属基础题.

4．【答案】或

【解析】空间四点中，任意三点都不共线时，可确定个平面，当四点共面时，可确定个平面，故空间不共线四点，可确定个或个平面．

5．【答案】

【解析】取的中点为,连接，由分别为的中点，则，所以为异面直线与所成角，再计算求解.

详解：设棱长为，取的中点为,连接，

由分别为的中点，则.

所以为异面直线与所成角.

三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以

在中，,

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查求异面直线所成角，属于中档题.

6．【答案】底面是菱形且底面

【解析】根据题意，先得到一个满足题意的条件，再由线面垂直的判定定理证明即可.

详解：只需加上条件：底面是菱形且底面，

证明如下：因为底面是菱形，连接，，则，

在四棱柱中，，则，

又，分别为棱，的中点，所以，所以；

因为底面，所以，

因为平面，平面，，

所以平面.

故答案为：底面是菱形且底面.

【点睛】

本题主要考查补全线面垂直的条件，熟记线面垂直的判定定理即可，属于常考题型.

7．【答案】

【解析】由题意结合翻折的性质可得点只能在中点到点之间（包含端点）运动，且二面角在运动的过程中逐渐变小，分别求出点与中点．点重合时二面角的大小即可得解.

详解：由题意，当在点和中点之间（不含中点）时，，B，F无法重合；

当为中点时，由，可知翻折后点落在平面上，如图：

此时二面角为，二面角的余弦值为，

在从中点向运动的过程中，二面角逐渐减小，

当与重合时，过点作于，连接，，如图：

由≌，所以，即为二面角的平面角，

设，所以，

所以，，

所以，二面角的余弦值为.

所以二面角的余弦值的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二面角的求解，考查了空间思维能力与转化化归思想，准确理解运动过程中的二面角的变化是解题关键，属于中档题.

8．【答案】

【解析】先确定在正方体棱上的位置，再确定在对应面上的弧长，即可求其周长.

详解：因为,所以点可在棱上（对应）, 动点的集合形成一条曲线如图所示.

，

，

，

因此根据对称性可得在表面．表面．表面分别构成半径为，圆心角为的圆弧；在表面．表面．表面分别构成半径为，圆心角为的圆弧；因此周长为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查立体几何轨迹问题，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.

9．【答案】2

【解析】利用，，成等差数列，可得，对角线长为，可得，结合，可得的最大值．

【详解】

，，成等差数列，

，

对角线长为，

，

，

，

，

，

，

的最大值为2．

故答案为：2．

10．【答案】①④

【解析】利用直线与直线．平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．

详解：解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确；

对于②，平行于所在的平面或与异面，故②错；

对于③，直线．不相交直线，异面或平行，故③错；

对于④，平面平面内存在不共线三点到的距离相等；

内存在不共线三点到的距离相等平面平面或相交，故④正确

故答案为：①④

【点睛】

本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．

11．【答案】相交．异面

【解析】利用线面的位置关系可知，平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是异面或相交．

12．【答案】

【解析】根据折叠关系找出与有关的几何关系，得出点的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫过的弧长即可求解.

详解：

在折叠后的图中，作垂足为，连接，根据三垂线定理，，

所以就是二面角的平面角为，，

根据折叠关系，与全等，对应边上的高位置相同，即在线段上，

且是线段的中点，取的中点，连接，则，

所以点的轨迹为以为直径的圆的一部分，当从运动到，点在圆周上从点运动到

，这段弧所对圆心角为，这段弧长为.

故答案为：

【点睛】

此题考查折叠问题与二面角和投影的轨迹问题，关键在于通过几何关系进行转化得出动点的轨迹.

13．【答案】

【解析】观察图形，根据正方体的几何特征即可求解.

详解：根据两个图形的字母，结合模型，可推断出来，A对面是E；B对面是C；则与D面相对的面上的字母是 F．

故答案为：F

【点睛】

本题主要考查正方体的几何特征，考查学生的推理判断能力，属于简单题.

14．【答案】①②④

【解析】由平面的性质：公理1，可判断①；由线面垂直的定理可判断②；由线面的位置关系可判断③④；由直线与平面平行的性质定理可判断⑤.

详解：解：①，，，，即，故①对；

②，，故②对；

③，，可能l与相交，可能有，故③不对；

④，，必有故，④对；

⑤，，则l，m可能平行，也可能异面，⑤不对，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查点．线．面的位置关系，属于基础题.

15．【答案】

【解析】根据题意，取中点为，连接，通过余弦定理即可容易求得.

详解：根据题意，取中点为，连接，如下图所示：

因为分别为中点，

故可得//，//，

故可得即为与所成的角或其补角.

在中，.

故，故与所成的角为.

故答案为：.

【点睛】

将异面直线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题.