高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理当堂达标检测题

【优质】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-1随堂练习

一．填空题

1．给出下列说法：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；

⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.

其中所有正确说法的序号是______.

2．空间中，直线在平面上用集合语言表示为__________．

3．顺次连结空间四边形四边中点所得的四边形一定是_______四边形.

4．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点，空间一点到三个平面3．4．5，则长为________.

5．空间四边形ABCD，，M．N．P分别为BD．AC．BC的中点，若异面直线AB和CD成60°的角，则________.

6．如图，在正方体中，与所成角的大小为________.

7．异面直线，所成角为，过空间一点的直线与直线，所成角均为，若这样的直线有且只有两条，则的取值范围为___________________.

8．给出下列判断：①一条直线和一点确定一个平面；②两条直线确定一个平面；③三角形和梯形一定是平面图形；④三条互相平行的直线一定共面其中正确的是_______.（写出所有正确判断的序号）

9．用符号表示“点A在直线l上，点B不在直线l上，l在平面α外，l在平面β内”，正确的表示有_________________．

①②③④⑤⑥⑦⑧

10．空间中，“的三个顶点到平面距离相等”是“平面平面ABC”成立的________条件．

11．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有________个

12．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值为 _______.

13．在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为______.

14．已知平面与平面．平面都相交，则这三个平面可能的交线有________条.

15．如图，已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角的大小为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】③④

【解析】对于①由线面关系可得线段与平面相交或线段在平面内；

对于②四个点不在同一个平面，即可判定；

对于③由平行四边形的定义可判断命题正确；

对于④，由点与线及线与面的关系可得，第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；

对于⑤中，由直线外一点与直线确定一个平面即可判断.

【详解】

①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个平面.

故答案为：③④

【点睛】

本题考查了空间点与线，点与面．线与面的位置关系，重点考查了平面的基本定理及公理，属基础题.

2．【答案】lα

【解析】利用直线在平面上，及元素与集合的关系符号．集合与集合的关系符号表达即可．

【详解】

直线在平面上，用集合语言表示为lα．

故答案为： lα．

【点睛】

本题考查了点．线．平面的位置关系的表示，点与直线的关系是元素与集合的关系，包括属于．不属于两种关系，直线和平面的关系是2个集合间的关系，包括真含于．不真含于两种关系．

3．【答案】平行四边形

【解析】顺次连结空间四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等，所以是平行四边形．

【详解】

解：连接BD，

已知空间四边形ABCD，E．F．G．H分别是各边中点．

∵在△ABD中，E．H是AB．AD中点，

∴EH∥BD，EH＝BD．

∵在△BCD中，G．F是DC．BC中点，

∴GF∥BD，GF＝BD，

∴EH＝GF，EH∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

故答案为：平行四边形．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线的性质以及平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

4．【答案】

【解析】构造棱长为a,b,c的长方体,P到三个面的距离即为长方体共顶点O的三条棱的长,OP为长方体的体对角线,求出OP即可.

【详解】

构造棱长为a,b,c的长方体,

P到三个面的距离即为长方体共顶点O的三条棱的长,

则,

因为OP为长方体的体对角线,

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查空间点．线．面间的距离的计算；通过构造长方体模型求长是求解本题的关键;考查运算能力;属于中档题.

5．【答案】8或8

【解析】先根据异面直线AB和CD成60°的角，得∠MPN＝60°或120°，然后利用等腰三角形求出MN的长即可．

【详解】

∵AB＝CD＝16，M．N．P分别为BD．AC．BC的中点，连接MN，MP，NP

∴NP＝MP＝8

异面直线AB和CD成60°的角，∴∠MPN＝60°或120°

当∠MPN＝60°时，MN＝8

当∠MPN＝120°时，MN＝8

故答案为：8或8

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，注意异面直线角的范围考虑两种情况，属于易错题．

6．【答案】

【解析】记点正上方的顶点为，在正方体中，得到即是与所成的角，进而可得出结果.

【详解】

如图，记点正上方的顶点为，在正方体中，显然，

所以即是与所成的角，

易得：

故答案：

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，即可求解，属于常考题型.

7．【答案】

【解析】将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，根据题意可以求出的取值范围.

【详解】

将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，异面直线，所成角为，可知，所以，所以在方向，要使有两条，则有：，在方向，要使不存在，则有，综上所述，.

故答案为：

【点睛】

本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.

8．【答案】③

【解析】对于①，由一条直线与直线外一点能确定一个平面来判断；

对于②和③，由两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面来判断；

对于④，举反例说明.

【详解】

一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不正确；

两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面，所以②不正确，③正确；

对于④，三条互相平行的直线一定共面也不正确，例如三棱柱的三条侧棱.

故答案为③.

【点睛】

本题考查了平面基本性质及空间平行线的传递性，重点考查了空间想象能力，属基础题.

9．【答案】①③⑥⑧

【解析】利用点线面的关系，用符号表示即可．

【详解】

点在直线上，直线在平面外，点B不在直线l上， l在平面β内.

，,，．

正确的为：①③⑥⑧

故答案为：①③⑥⑧

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系，点与直线的位置关系，正确理解点线面的关系和符号表示是解题的关键．

10．【答案】必要不充分

【解析】根据A,B,C与平面位置关系判定充要关系.

【详解】

当A,B,C不在平面同侧时，A,B,C到平面距离也可相等，即的三个顶点到平面距离相等时，平面与平面ABC可相交，所以充分性不成立，

当平面平面ABC时，A,B,C到平面距离必相等，所以必要性成立，

故答案为：必要不充分

【点睛】

本题考查线面位置关系以及充要关系判定,考查基本分析判断能力，属基础题.

11．【答案】20

【解析】由平面的基本性质可得：两平行线确定一个平面，两相交直线确定一个平面，故分这两类研究即可.

【详解】

解：正方体各个面中，相对两平行平面中有两组平行对角线，可以确定两个平面，这样有6个平面，又因为每个顶点对应一个符合条件的平面，这样又有8个平面，而每个面上的两条相交的对角线确定6个表面，则共有个平面，

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了平面的基本性质，重点考查了空间想象能力，属基础题.

12．【答案】6

【解析】先以点为坐标原点，分别以，，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到，，，设，由，得到，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果.

【详解】

以点为坐标原点，分别以，，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，

所以，，，

因为点为正方形所在平面内的一个动点，

设，

因为，

所以，

整理得：

即点可看作圆上的点，

又，

所以表示圆上的点与定点之间的距离，

因此（其中表示圆的半径.）

故答案为6

【点睛】

本题主要考查立体几何中的最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.

13．【答案】

【解析】画出长方体,再将异面直线与利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可.

【详解】

画出长方体可得异面直线与所成角为与之间的夹角,连接.则因为,则,又,故,

又,故为等腰直角三角形,故,即异面直线与所成角的大小为

故答案为：

【点睛】

本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型.

14．【答案】1条．2条或3条

【解析】分平面β与γ平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条．2条或3条．

【详解】

①若平面β∥平面γ，平面α与平面β，γ都相交，则它们有2条交线，且这2条交线互相平行；

②若平面β∩平面γ＝a，平面α是经过直线a的平面，则三个平面只有一条交线，即直线a；

③若平面β∩平面γ＝a，平面α与平面β，γ都相交，但交线与直线a不重合，则它们有3条交线，

例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱

综上所述，这三个平面的交线的条数可能是1条．2条或3条，

故答案为：1条．2条或3条．

【点睛】

本题给出平面α与平面β，γ都相交，求它们交线的条数，着重考查了平面的基本性质和空间平面与平面位置关系等知识，属于基础题．

15．【答案】

【解析】由正三棱锥的性质得到△PAB≌△PCB（SSS），则两三角形PB边上的高与PB交于同一点，∠ADC是二面角的平面角，通过余弦定理求出∠ADC的余弦值即可。

【详解】

过点A作AD⊥PB于点D，联结CD；

∵△PAB△PCB（SSS）

∴CD⊥PB

即∠ADC是二面角的平面角

在△PAB中，

即

即二面角的大小为

故答案为：

【点睛】

本题考查了二面角的平面角大小的定义，关键在于找出二面角的平面角的两边，因为正三棱锥的特殊性质，直接找角比空间向量的方法要简单，属于中等题。