人教版19.2.2 一次函数优秀课时作业

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第12周：一次函数-2020-2021学年下学期周末补习培优八年级数学（人教版）

一、单选题
1．已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），直线l1交y轴于点B（0，4），交x轴于点A，直线l2交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②△BCD为直角三角形；③S△ABD＝6；④当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为-1，可知两直线互相垂直；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1）．
【详解】解：①∵直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+m都经过C（﹣，），
∴方程组的解为，
故①正确，符合题意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直线l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直线l1：y＝2x+4，
又∵直线l2：y＝﹣x+m，
∴直线l1与直线l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③把C（﹣，）代入直线l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③错误，不符合题意
④点A关于y轴对称的点为A'（2，0），
由点C、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y＝﹣x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，1），
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题为一次函数综合题，考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．规定，例如，下列结论中，正确的是( )（填写正确选项的序号）
（1）若，则；（2）若，则；（3）能使成立的x的值不存在；（4）式子的最小值是9
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】根据非负数和为0的性质可判断（1）；
由可以化简绝对值，可判断（2）；
由两数绝对值相等得出两数相等或互为相反数可判断（3）；
分三种情况讨论化简绝对值，利用一次函数的增减性质可判断（4）．
【详解】解：（1）若f（x）+g（y）=0，即|x-3|+|y+4|=0，
解得：x=3，y=-4，
则2x-3y=6+12=18，符合题意；
（2）若x＜-4，
则f（x）+g（x）=|x-3|+|x+4|=3-x-x-4=-1-2x，不符合题意；
（3）若f（x）=g（x），则|x-3|=|x+4|，即x-3=x+4或x-3=-x-4，
解得：x=-0.5，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；
（4）式子f（x-1）+g（x+1）=|x-4|+|x+5|，
当x≤-5时，f（x-1）+g（x+1）=4-x-x-5=-2x-1，-2x-1的值随x的增大而减小，
所以x=-5时有最小值9；
当-5＜x＜4时，f（x-1）+g（x+1）=4-x+x+5=9；
当x≥4时，f（x-1）+g（x+1）=x-4+x+5=2x+1，2x+1的值随x的增大而增大，
所以x=4时有最小值9；
综上所述，f（x-1）+g（x+1）的最小值是9，符合题意．
故答案为：C．
【点评】此题考查了一次函数的增减性以及绝对值的化简，弄清题中的新规定是解本题的关键．
3．如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ 　 ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图（见解析），先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为FG的长，然后根据直线AB的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案．
【详解】如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG、BF，
由轴对称的性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为FG的长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点C为OB的中点，
，
点G为点C关于AO的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．

【点评】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用两点之间线段最短找出周长的最小值是解题关键．
4．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）．

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的的面积，判断函数图像，选出正确答案即可．
【详解】由点M是CD中点可得：CM=，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，

y==x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1
BP=x－1，CP=2－x，
y===；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2
MP=，
y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键．
5．如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，找到取最小值的状态，然后通过点坐标求出直线的解析式，点P就是它和x轴的交点．
【详解】解：作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，
此时是最小的，
根据矩形的性质，，，
根据轴对称，，
设直线的解析式为，将点和点代入，
，解得，则直线解析式为，
令，求出，则点P坐标是．
故选：A．

【点评】本题考查直角坐标系中线段和最小问题，解题的关键是利用数形结合的思想，将几何中的线段和最小问题利用函数的方法求解．
6．直线分别与轴，轴交于点，，在内，横、纵坐标均为整数的点叫做“好点”．分别记时，内的“好点”数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求得当1，2，3，4，5，时，，，，，，的值，找到规律，求得，再得到，计算即可求解
【详解】如图：

，，，，，
，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的规律的探索问题以及分式的运算，解答本题的关键在于运用运算技巧把分式拆分，达到简算的目的．
7．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（　　）

A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），根据正方形的性质，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设点C的横坐标为m，
∵点C在直线y=-3x上，∴点C的坐标为（m，﹣3m），
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥x轴，BC=AB，
又点B在直线y＝kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴点B的坐标为（﹣，﹣3m），
∴﹣﹣m＝﹣3m，
解得：k＝，
经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键．
8．如图，过点作轴垂线交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形；延长交直线于点，以的长为边在右侧作正方形……则的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一次函数解析式和正方形的性质求出前几个点的坐标，找到A点横坐标的规律以及C点和A、B点之间的关系，求出的坐标．
【详解】解：∵，∴的横坐标也是1，
∵在直线上，∴，
正方形的边长是1，
∴，同理，正方形的边长是2，
发现规律，正方形的边长是，
点是线段的中点，要求的坐标就要求和的坐标，
的横坐标是，则，，
∵是它们的中点，∴．
故选：A．
【点评】本题考查的是函数和几何结合的找规律题，解题的关键是利用数形结合的思想去先求出前几个点的坐标，发现规律之后去求要求的点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．

A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），
∴，，
∴AB=CD，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=CD，
故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，
∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴点C在直线y=-x上运动，
∴由点到直线的距离垂线段最短可知， BC⊥直线y=-x 时，BC的值最小，如下图所示：

易求得直线BC的解析式为：y=x-3
C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：
，解得，故，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）

A．20 L B．25 L C．27L D．30 L
【答案】B
【详解】解：由图形可得点（4，20）和（12，30），
设直线的解析式为y=kx+b，代入可得，解得，
∴函数的解析式为y=x+15，代入x=8可得y=25.
故选：B
【点评】此题主要考察了一次函数的图像与性质，先利用待定系数法求出函数的解析式，然后代入可求解.


二、填空题
11．已知某个一次函数自变量x的取值范围是0≤x≤10，函数y的取值范围是10≤y≤30 ，则此函数解析式是_____．
【答案】y=2x+10 或y=-2x+30
【分析】设y=kx+b，分两种情况讨论，即x=0， y=10且x=10，y=30或x=10，y=10且x=0，y=30， 根据题所给的x和y的范围可得出k及b的值，继而得出解析式.
【详解】设y=kx+b，
∵一次函数是直线，
∴①当k>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=0，y=10且x=10，y=30，
得到，解得，
∴此函数解析式是y=2x+10；
②当k<0时，y随x的增大而减小，
∴x= 10，y=10且x=0，y=30，
∴，解得，
∴此函数解析式是y=-2x+30，
综上所述，函数的解析式为y=2x+ 10或y=- 2x + 30.
故答案为：y=2x+ 10或y=- 2x + 30.
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，正确理解函数解析式中y与x的变化关系是解题的关键.
12．我的生日是10月19日，我的六位同学的生日分别是10月11日、11月8日、11月25日、12月1日、12月17日与12月26日．我们七人打算选择一个日期共同举办一个生日宴会，使得每一个人的生日日期与所选择这天的差距总和愈小愈好，请问应该选在______月______日．
【答案】11 25
【分析】分情况讨论，假设这天在10月、11月、12月三种情况，分别求出差距和，取差距和最小的情况．
【详解】解：①假设这天在10月，日期设为x，差距和为y，


当时，，
时，y取最小值275，
当时，，
时，y取最小值235，
时，，
时，y取最小值199，
则10月时，10月31日，最小差距和为199；
②假设这天在11月时，


当时，，
时，y取最小值175，
当时，，
时，y取最小值158，
当时，，
时，y取最小值158，
则在11月时，11月25日，取最小差距和158；
③假设这天在12月时，


当时，，
时，y取最小值164，
当时，，
时，y取最小值212，
当时，，
时，y取最小值257，
则在12月时，12月1日，取最小差距和164；
综合可知，这一天应选在11月25日．
故答案为：11；25．
【点评】本题考查含字母的绝对值求解、一次函数的最值等知识点，掌握分情况讨论，会判断绝对值的取值范围，在取值范围内会求一次函数的最值是解题的关键．
13．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．
【答案】（-2,3）．
【分析】由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．
【详解】解：∵
∴

∵直线与直线的交点坐标为
∴
得
∴
∴
将代入中得

∴交点坐标为（-2,3）
故答案为：（-2,3）．
【点评】此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．
14．兄弟两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向跑步米，且过程中各自保持匀速． 已知弟弟先出发秒． 在跑步过程中，兄弟两人之间的距离（米）与哥哥出发的时间（秒）之间的关系如图所示，则图中表示的是______________________米

【答案】
【分析】兄弟两人在直线跑道上同起点，哥哥出发的时，兄弟两人之间的距离20，弟弟先出发5秒，可求出弟弟的速度，80秒时，兄弟之间距离最大，兄弟两人在直线跑道上同终点、说明兄到达终点，兄跑步400米，可求兄的速度=路程÷时间80，用 追上弟弟，用速度差乘以时间等于20，可求出，后来用60秒兄弟的距离差求b即可．
【详解】兄弟两人在直线跑道上同起点，哥哥出发的时，兄弟两人之间的距离20，
弟弟先出发5秒，V弟==4米/秒，
80秒时，兄弟之间距离最大，兄弟两人在直线跑道上同终点、说明兄到达终点，兄跑步400米，
V兄=400÷80=5米/秒，
秒时，兄追上弟，
，，
80秒时兄到终点，
，
．

故答案为：60．
【点评】本题考查两者之间最大距离问题，抓住图形获取信息（，0）处表示兄追上弟，（80，b）表示兄到终点是解题关键．
15．已知一次函数和，当自变量时，，则的取值范围为_________．
【答案】－3≤k≤2且k≠0
【分析】分两种方法解答：代数法：根据题意确定（k－2）x＜5，得到k－2≤0 且≥－1，由此求出答案；几何法：根据函数关系式画出函数图象进行判断得出答案.
【详解】代数法：
解析：∵y1＜y2 ，
∴kx－2＜2x＋3，
∴（k－2）x＜5，
经分析得：k－2≤0 且≥－1，
解得：－3≤k＜0或 0＜k≤2；
几何法：根据函数关系式画出函数图象，如下图，观察图像可知：
－3≤k＜0或 0＜k≤2.
故答案为：－3≤k≤2且k≠0.

【点评】此题考查两个一次函数图象的交点问题，解一元一次不等式，利用自变量的取值及函数值的大小关系确定未知数的取值范围，确定解题的思路及方法是关键.

三、解答题
16．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点，且是方程的解，与是互为相反数，连接并延长交轴于点，过点作轴于点．

（1）求点的坐标．
（2）动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，设的面积为，运动时间为，求与的关系式，并直接写出的取值范围．
（3）在（2）的条件下，过点作线段，点落在第三象限内，且，连接，交于点，交轴于，当时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）或
【分析】（1）解方程求出a值，然后可得点A、B坐标，作轴于，证明可得，于是可求点C坐标；
（2）分两种情况表示出PD的长，即可求出与的关系式；
（3）作于，作于，依次证明，，，可求出PD的长，于是可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴，
作轴于，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）如图1，

①当时，，，
；
②当时，，，
；
（3）如图2，如图3，作于，作于，连接，

易证，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴当时，，，
当时，，，
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，一次函数解析式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC，点C为直角顶点，连接OC．
（1）求S△AOB；
（2）过点C作CE⊥x轴于E点，试探究OB+OA与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）若M为AB的中点，N为OC的中点，求MN的长．

【答案】（1）4；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）利用待定系数法求出，两点坐标即可解决问题．
（2）先确定出点，坐标，进而判断出，即可判断出四边形 是正方形，即可得出结论；
（3）利用中点坐标公式求出点，的坐标，进而用两点间的距离公式求解即可得出结论．
【详解】解：（1）直线与坐标轴交于， 两点，
，，
，，
，
故答案为4；
（2）结论：
理由：如图①中，作轴于，作轴于，


，
四边形是矩形，
，，，

，
，
，
，，
四边形是正方形，

，
；
（3）如图①中，是线段的中点，
而，，
，
由（2）知：，

是线段的中点，
，，
．
【点评】本题是一次函数综合，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解本题的关键．
18．已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线AB的表达式为y＝2x+4；（2）存在，P（2，0），或（﹣2，0）或（17，0）或（4，0）．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质，分三种情况讨论，根据勾股定理列出方程，计算即可得出结论．
【详解】解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（2，8）,B（0，4）代入表达式得：

解得：
∴直线AB的表达式为y＝2x+4；
（2）存在，
设点P（m，0），
∵A（2，8），O（0，0），
∴OP2＝m2，OA2＝68，AP2＝（m﹣2）2+64，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP＝OA时，m2＝68，
∴m＝±2，
∴P（2，0），或（﹣2，0）
②当OP＝AP时，m2＝（m﹣2）2+64，
∴m＝17，
∴P（17，0）
③当OA＝AP时，68＝（m﹣2）2+64，
∴m＝0（舍）或m＝4，
∴P（4，0），
即：满足条件的点P的坐标为P（2，0），或（﹣2，0）或（17，0）或（4，0）．
【点评】此题知一次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质以及勾股定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
19．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．
（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求出k的值；
（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．

【答案】（1）点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3±）x．
【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D(a，2a)，则AB＝AD＝2a，进而 求解；
（2）将C点坐标代入y=kx即可求得k；
（3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为，当y=2a时，可求出点E( ，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程进而求出m．
【详解】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），
则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），
故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；
（2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，
解得k＝；
（3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，

则直线OF的表达式为，
当y＝2a时，y＝，
解得x=，
故点E（，2a），
由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，
即，
解得：m＝，
则函数的表达式为y＝＝（3±）x．
【点评】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键．
20．如图，直线AD：y1=k1x+b1过点A（0，4），D（4，0），直线BC：y2=k2x+b2过点C（﹣2，0），且与直线AD交于点B，且点B的横坐标为a（a0）．

（1）当a=1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，请直接写出k1x+b1k2x+b2时，对应的x的取值范围；
（3）设△ABC的面积为S，用含a的代数式表示S，并求出当直线CB把△ACD的面积分为1：2的两部分时，对应a的值．
【答案】（1）；（2）；（3），或
【分析】（1）先求出直线AD的解析式，再求得B点的纵坐标，再代入求得直线BC的解析式；
（2）根据一次函数的增减性，并结合函数图象可以求得不等式的解集；
（3）分两种情况分别求出△ABC的面积函数关系式．
【详解】(1)由题意得：直线AD过点A(0，4)，D(4，0)，
∴4=b1；0=4k1+b；解得：k1=−1；b1=4．
∴直线AD的解析式为y1=−x+4
又因为点B在AD上，且B点的横坐标为a=1，所以纵坐标为3，即B(1，3)
由题意的直线BC过点B(1，3)，C(−2，0)
∴3=k2+b2；0=−2k2+b2解得：k2=1；b2=2．
∴直线BC的解析式为y2=x+2
(2)因为直线AD与直线BC相交于点B(1，3)
由图象得：k1x+b1>k2x+b2时x的取值范围为x<1．
(3)△ABC的面积计算有两种形式，分别为点B在AD中间、在点D下方．

①当点B在点A和点D中间，即0 ∴S=×6×4−×6×(−a+4)=3a
②当点B在点D下方，即a⩾4时，：S△ABC=S△ACD+S△BCD
∴S=×6×4+×6×[−(−a+4)]=3a
综上所述得：S=3a
当直线CB把△ACD的面积分为1：2两部分时，即B点在点A和点D中间时．
此时S△ABC=3a，S△ACD=12．
当S△ABC：S△ACD=1：3时，即3a：12=1：3，∴a=；
当S△ABC：S△ACD=2：3时，即3a：12=2：3，∴a=．
【点评】本题是一次函数的综合应用．综合性较强，注意第（3）题分两种情况分别求出△ABC的面积函数关系式．
21．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车型
运费
运往甲地/（元/辆）
运往乙地/（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆；
（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．
【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．
【分析】（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；
（3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得：
14x+8（18﹣x）=192，解得：x=8，18﹣x=18﹣8=10．
答：大货车用8辆，小货车用10辆．
（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w=720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；
（3）14a+8（10﹣a）≥96，解得：a≥．
又∵0≤a≤8，
∴3≤a≤8 且为整数．
∵w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
22．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示：

型（台）
型（台）
利润（元）
二月份
15
20
4500
三月份
20
10
3500
（1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为____________；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
①求与的关系式；
②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）100元，150元；（2）①y=-50x+15000；②购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；（3）①当0＜m＜50时，购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；②m=50时，购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜80时，购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y=-50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=15000，③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得,
解得
故答案是： 100元，150元．
（2）①据题意得，y=100x+150（100-x），
即与的关系式为y=-50x+15000，
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥，
∵y=-50x+15000，-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），
即y=（m-50）x+15000，≤x≤60，且x为整数，
分三种情况讨论：
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m=50时，m-50=0，y=15000，
∵≤x≤60，且x为整数，
∴34≤x≤60，且x为整数，
即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值．
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数的增减性质进行判断．
23．甲、乙两车分别从相距480千米的、两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经地，甲车到达地停留1小时，因有事按原路原速返回地.乙车从地直达地，两车同时到达地.甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发后所用的时间（时）的函数图象如图所示．

（1）求的值；
（2）求甲车距它出发地的路程与之间的函数关系式；
（3）求两车相距120千米时乙车行驶的时间．
【答案】（1）3；（2）；（3）小时、4小时或6小时．
【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出乙车的速度，从而可以得到甲车从开始到返回A地用的时间，从而可以求得t的值；
（2）根据题意和函数图象中的数据，可以求得各段甲车距它出发地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得两车相距120千米时，乙车行驶的时间．
【详解】（1）由函数图像得：乙车的速度为：60÷1=60（千米/小时），
甲车从A地出发至返回A地的时间为：（480−60）÷60＝420÷60＝7（小时），
∴t＝（7−1）÷2＝3，
即t的值是3；
（2）当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
则360＝3k，解得k＝120，
∴当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为：y＝120x，
当3＜x≤4时，y＝360，
当4＜x≤7，设y与x的函数关系式为：y＝ax＋b，
则，
解得：，
∴当4＜x≤7，y与x的函数关系式为：y＝−120x＋840，
由上可得，y与x的函数关系式为：；
（3）设乙车行驶的时间为m小时时，两车相距120千米，乙车的速度为60千米/小时，甲车的速度为360÷3＝120（千米/小时），甲乙第一次相遇前，60＋（60＋120）×（m−1）＋120＝480，得m＝，
甲乙第一次相遇之后，60＋（60＋120）×（m−1）＝480＋120，得m＝4，
甲车返回A地的过程中，当m＝5时，两车相距5×60-（480-360）＝180（千米），
∴（120−60）×（m−5）＝180−120，
得m＝6，
答：两车相距120千米时乙车行驶的时间是小时、4小时或6小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．如图，已知点在直线：上，和：的图象交于点，且点的横坐标为8．

（1）直接写出、的值；
（2）若直线、与轴分别交于点、，点在线段上，满足，求出点的坐标；
（3）若点是直线上一点，且，求出点的坐标．
【答案】（1）k=1，b=-9；（2）点P的坐标为（6，3）；（3）点Q的坐标为（，）
【分析】（1）将点A的坐标代入中，求出b的值即可求出直线的解析式，然后将x=8代入直线的解析式中，即可求出点B的坐标，最后将点B的坐标代入中，即可求出k的值；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，根据点B的坐标即可求出BE的长，由题意可得，然后根据三角形的面积公式即可求出PF，从而求出点P的坐标；
（3）根据点Q所在的直线，设点Q的坐标为（a，a－1），然后根据旋转角的方向分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质、点所在的直线即可分别求解．
【详解】解：（1）将点A的坐标代入中，得

解得：b=-9，
∴直线的解析式为，
将x=8代入中，
解得：y=7
∴点B的坐标为（8，7），
将点B的坐标代入中，得

解得：k=1
综上：k=1，b=-9；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥y轴于F，

∴BE=8
∵
∴
∴
∴=6，即点P的横坐标为6
将x=6代入中，
解得：y=3
∴点P的坐标为（6，3）；
（3）由（1）知，直线的解析式为
由点是直线上，设点Q的坐标为（a，a－1）
①当AQ所在直线是由AB逆时针旋转45°得到时，过点Q作QE⊥AQ交直线于点E，过点Q作FG⊥x轴，过点A作AF⊥FG于F，过点E作EG⊥FG于G，如下图所示

∴△AQE为等腰直角三角形，QE=AQ，∠AQE=90°
∵∠G=∠F=90°
∴∠GEQ＋∠GQE=90°，∠FQA＋∠GQE=90°
∴∠GEQ=∠FQA
∴△GEQ≌△FQA
∴GE=FQ，QG=AF
∵点Q的坐标为（a，a－1），点A的坐标为
∴FQ=a－1－（-5）=a＋4，AF=2－a
∴GE= a＋4，QG=2－a
∴点E的横坐标为a＋4＋a=2a＋4，点E的纵坐标为a－1＋（2－a）=1
∵点E在上
∴
解得：a=
∴此时点Q的坐标为（，）；
②当AQ所在直线是由AB顺时针旋转45°得到时，由图易知，点Q在右侧，而此时AQ所在直线与直线的交点在左侧，这与点是直线上相矛盾，故此时点Q不存在；

综上：点Q的坐标为（，）．
【点评】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式和全等三角形的判定及性质是解题关键．
25．如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2,0)．
(1)求直线y＝kx＋b的解析式；
(2)求两条直线与y轴围成的三角形面积；
(3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．

【答案】（1）一次函数的解析式是y＝－x＋；（2）S△ABC＝；（3）x≥－1.
【分析】试题分析：利用代入法求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）根据图像求出交点C的坐标，然后可求三角形的面积；
（3）根据图像的位置求出不等式的解集.
试题解析：解：(1)把A(a,2)代入y＝－2x中，得－2a＝2，∴a＝－1，∴A(－1,2)，把A(－1,2)、B(2,0)代入y＝kx＋b中得，∴k＝－，b＝，∴一次函数的解析式是y＝－x＋；　
(2)设直线AB与y轴交于点C，则C(0，)，∴S△ABC＝××1＝；　
(3)不等式(k＋2)x＋b≥0可以变形为kx＋b≥－2x，结合图象得到解集为：x≥－1.