高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理课时作业

【精挑】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-2同步练习

一．填空题

1．如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的大小是_______.

2．已知三棱锥的各棱长均为2，M，N分别为BC，PA的中点，则异面直线MN与PC所成角的大小为__________．

3．如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积为20；

②存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值；

③当点不与，重合时，在棱上均存在点，使得平面；

④存在唯一的点，使得平面，且．

其中正确的命题是_____（填写所有正确的序号）

4．如图，长方体中，，，是正方形的中心，则直线与平面成的角的余弦值是______.

5．四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：

①为平面PAD的法向量；

②为平面PAC的法向量；

③为直线AB的方向向量；

④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．

其中正确命题的序号是______________

6．设．．是三个不同的平面，．是两条不同的直线，给出下列三个结论：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则．

其中，正确结论的序号为_            _．

7．若异面直线a．b所成的角为60°，则过空间一点P且与a．b所成的角都为60°的直线有________条．

8．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值______________.

9．三条直线相交于一点，则它们最多能确定________个平面

10．已知长方体的顶点都在直径为3的球面上，，点是的中点，则异面直线与所成角的大小是______.

11．分别是三棱锥的棱的中点，，，则异面直线与所成的角为_____.

12．已知正方体，若在存在点使直线两两所成的角都为，则__________.

13．已知两平行线直线分别过点．，设此两平行直线之间的距离为，则的取值范围为________

14．正方体中，异面直线与所成的角的大小为______.

15．如图，在长方体中，已知，，则直线与平面所成角的正弦值是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】（或）

【解析】

【分析】

连接．，即可得出为异面直线与所成角，根据正方体的性质即可求解.

【详解】

如图，连接．，可得为异面直线与所成角，

由正方体的性质可得为等边三角形，

所以或.

故答案为：（或）

2．【答案】

【解析】取的中点，连接，易知或其补角为异面直线MN与PC所成的角，分别求出，解三角形即可.

详解：取的中点，连接，易知或其补角为异面直线MN与

PC所成的角，又三棱锥的各棱长均为2，所以，

又易得，所以，，

所以，所以为等腰直角三角形，

故.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，空间想象能力，是一道中档题.

3．【答案】①②④

【解析】

①由题意可得，

，所以①正确；

②将长方体展开，如图所示，恰好过点时，截面的周长为，

而在中，，所以最小值为，

由面面平行的性质，可得四边形为平行四边形，且为展开图中唯一的点，所以②正确；

③当时，在棱上均有相应的，使得面，但时，过点C可以做出一条直线面，此时点M直线AD上且不在棱AD上，故③不正确；

④因为，可得对角面为正方形，可得，

若时，由三垂线定理可得，即有面，

矩形中，，所以，所以，故④正确

综上可得：正确为①②④.

故答案为：①②④.

4．【答案】

【解析】取中点，连接，，显然为所求直线与平面所成的角，转化到中求解即可．

详解：解：取中点，连接，，

因为为长方体，是正方形的中心，为中点，

所以显然为所求直线与平面所成的角，

且，

，即直线与平面所成的角的余弦值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查线面角的定义及其求法，考查运算能力，属于基础题．

5．【答案】②，③，④

【解析】①由推出平面PAD，①错误；②由．推出平面PAC，②正确；③由知③正确；④由．推出平面PAD，④正确.

详解：①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；

②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；

③因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，③正确；

④易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正确.

故答案为：②，③，④

【点睛】

本题考查空间中直线．平面的向量表示，属于基础题.

6．【答案】①②

【解析】利用线面垂直的性质可判断命题①．②的正误；利用特例法可判断命题③的正误.综合可得出结论.

详解：．．是三个不同的平面，．是两条不同的直线.

对于①，若，，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得，故①正确；

对于②，若，，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故②正确；

对于③，若，，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断．相交，则不正确．

故答案为：①②．

【点睛】

本题考查空间中线面．面面位置关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.

7．【答案】3

【解析】将异面直线平移到点，结合图象可知，当直线在面的射影为的角平分线时存在2条满足条件，当直线为的角平分线时存在1条满足条件，即可得到答案.

详解：由题意，如图，将异面直线平移到点，则，，

且角的角平分线与异面直线所成的角为，

而的角平分线与异面直线所成的角为，

因为，所以当直线在平面的射影为的角平分线时存在2条满足条件，图中的直线；

当直线为的角平分线时仅有存在1条满足条件，图中的直线.

综上直线与异面直线所成的角相等且等于有且仅有3条.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成角的概念，以及异面所成角的求法，着重考查空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】如图，设AB,的中点分别为E,F,连接,证明为直线与所成角或补角，再利用余弦定理求解.

详解：如图，设AB,的中点分别为E,F,连接.

由题得,

则为直线与所成角或补角.

因为棱长为1，则，

由余弦定理得，

所以直线与所成角的余弦值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力．运算能力和推理论证能力，属于基础题．

9．【答案】3

【解析】以三棱锥为载体，能求出不重合的三条直线相交于一点，它们最多能确定多少个平面．

详解：如图，在三棱锥中，平面，

直线．．共点于，．．三条直线确定一个平面，

直线．．共点于，．．三条直线确定三个平面：

平面．平面．平面．

不重合的三条直线相交于一点，则它们最多能确定3个平面

故答案为：3.

【点睛】

本题考查平面个数的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．

10．【答案】

【解析】取中点，连，可证，则（或补角）是异面直线与所成角，通过余弦定理解三角形即可求得结果.

详解：取中点，连，在长方体中，

为中点，

所以，所以四边形为平行四边形，

所以，则（或补角）是异面直线与所成角，

长方体的顶点都在直径为3的球面上，

，，得，而，则，

计算得，，，

，

，

故答案为:.

【点睛】

本题考查异面直线成角问题，在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径，利用余弦定理解三角形是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

11．【答案】

【解析】根据题意，取中点为，连接，通过余弦定理即可容易求得.

详解：根据题意，取中点为，连接，如下图所示：

因为分别为中点，

故可得//，//，

故可得即为与所成的角或其补角.

在中，.

故，故与所成的角为.

故答案为：.

【点睛】

将异面直线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题.

12．【答案】

【解析】取的中点，分别连接，得到是全等的三角形，从而得到两两所成的角都相等，再结合余弦定理，即可求解.

详解：如图所示，取的中点，分别连接，

可得，

所以是全等的三角形，

此时，

此时两两所成的角都相等，

设正方体的棱长为2，则，

其中，

在中，由余弦定理可得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线与直线所成角的求解，以及正方体的结构特征，其中解答熟练应用正方体的集合结构特征，确定点的位置是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力.

13．【答案】

【解析】根据极限的思想分析,当两平行线无限接近于重合,即过两条直线均过．时距离最小；距离最大时为．之间的距离.

【详解】

由题意,当两平行线无限接近于重合时距离无限接近于0,距离最大时两条平行线均与直线垂直,此时为．之间的距离.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了极限的思想在解决平面直线距离中的运用,属于中题.

14．【答案】60°

【解析】如图所示，连接，，则即为异面直线与所成角．利用△为正三角形，即可得出．

详解：解：如图所示，直线，所以直线与所成的角即为异面直线与所成角．

△为正三角形，

．

故答案为：60°.

【点睛】

本题考查正方体的性质．等边三角形的性质．异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力.

15．【答案】

【解析】连接，交于，连接，易得为直线与平面所成的角，再由已知算出的长度即可得到答案.

【详解】

如图，连接，交于，连接，

由题，平面，所以，又四边形是正方形，

所以，，所以平面，

即为直线与平面所成的角，

又，，所以，

，故.

故答案为：