高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式课后测评

【精编】3.2 半角公式-1优选练习

一．填空题

1．已知，则___________.

2．

已知，，则______.

3．已知，则_______．

4．

对于函数，下列说法：

①函数是奇函数；

②函数是周期函数，且周期是；

③函数的值域是；

④函数在上单调递增．

其中正确的是_________．（填序号）

5．三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启？薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.注意到，化简并整理可得___________.

6．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，若，点在角的终边上，则角___________.(用弧度表示)

7．

已知复数，（为实数），并且，则实数_________．

8．

已知，则_______.

9．已知，则______．

10．能够说明“若，则，”是假命题的一组，的值为___________.

11．

已知，且，则___________.

12．已知，则的值是______.

13．

已知在中，，，则______.

14．已知，则__________．

15．如图所示，已知直四棱柱的底面是有一个角为的菱形，且该直四棱柱有内切球(球与四棱柱的每个面都相切)，设其内切球的表面积为，对角面和的面积之和为，则的值为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】因为，所以，

故答案为：

2．【答案】

【解析】

已知，,则，所以

故答案为：

3．【答案】

【解析】因为，所以

所以

故答案为3

4．【答案】④

【解析】

∵

，

∴不是奇函数，①不正确；

∵

，

但是

，

所以是周期函数，但是不是它的周期，故②不正确；

当，时，，

当时，；

当，时，

，

所以函数值域为，故③不正确；

当时，，显然单调递增，因此④正确．

故答案为：④．

5．【答案】

【解析】分析：利用两角和的余弦公式及倍角公式把已知等式转化为关于的一元二次方程求解可得答案.

详解：

，

又因为，

所以

因为，所以，

解得或(舍去).

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的化简求值，解题的关键点是对公式的熟练掌握及应用，考查了两角和的余弦及倍角公式的应用，考查运算求解能力.

6．【答案】

【解析】分析：根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求解.

详解：因为点在角的终边上，

所以由三角函数的定义知，

又，

所以.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】

已知复数，（为实数），并且，则，

所以，.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】

因为，所以，所以

故答案为：

9．【答案】

【解析】∵，

∴，

故答案为：

10．【答案】（答案不唯一）.

【解析】分析：利用二倍角公式化简可得，即可取值.

详解：由可得，

即，

令，此时满足条件，但不满足.

故答案为：（答案不唯一）.

11．【答案】

【解析】

因为，得，

解得或(舍去)，

又.

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：根据三角恒等变换的公式，化简得到，再由，结合余弦的倍角公式，即可求解.

详解：由，可得，

解得，

又由.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】

因为在中，，则，所以，则角为钝角；

又，所以，

因此.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：直接用二倍角公式求解即可.

详解：因为，

所以.

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：由底面菱形求得内切圆半径，即为四棱柱内切球半径，求得可得比值．

详解：解：设，，内切球的半径为，则（内切圆直径即为菱形的高），∴，

四棱柱的高为：，∴，由题意可得，

∴，

∴

.

故答案为：.