北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理当堂达标检测题

【精挑】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-1优选练习

一．填空题

1．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:

①若⊥，m//，则m⊥;

②若⊥，⊥，则//;

③若⊥，m⊥，，则m//;

④若⊥，∩=m，，n⊥m，则n⊥.

其中正确的是           _.

2．在空间四边形中，，．分别是对角线．的中点且，则异面直线．所成角的大小为________.

3．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为_______

4．设m，n为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线m1和n1，给出下列4个命题：①m1∥n1？m∥n；②m∥n？m1与n1平行或重合；③m1⊥n1？m⊥n；④m⊥n？m1⊥n1.其中所有假命题的序号是_____．

5．若将一个的直角三角形的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为，则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于________.

6．已知，，是互不相同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：

①若与为异面直线，，，则；

②若，，，则；

③若，，，，则.

其中所有真命题的序号为________.

7．如图，在中，，，M为AB的中点，将沿着CM翻折至，使得，则的取值可能为_________（填上正确的所有序号）.①；②；③；④.

8．如图所示，在长方体中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为那么点M到平面EFGH的距离是_____.

9．一质点从所有棱长都为1的正五棱柱的顶点E出发，沿正五棱柱的棱运动，每经过一条棱称为一次运动，运动方向是从开始EA上称为第1棱动，AB上第2棱动，上称为第3棱动，…，且第棱动所在棱与第棱动所在的棱是异面直线，经过2019次运动后,质点到达顶点位置是________.

10．空间四边形中，？分别是？的中点，，，，那么直线与所成角的大小是______.

11．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是______个.

①线段在平面内，则直线不在平面内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④空间三点确定一个平面.

12．设正三棱锥的底边长为，高为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.

13．在长方体中， ，点为长方形对角线的交点，为棱的中点，则异面直线与所成的角为__________.

14．如果．是异面直线，．也是异面直线，则直线．的位置关系是________

15．在长方体中，，，，那么顶点到平面的距离为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】③④

【解析】对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若⊥，m⊥，，则m//；

对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.

【详解】

对于①, ⊥，m//，可得直线可能与平面平行，相交，故不正确；

对于②，⊥，⊥，可得平面可能平行和相交，故不正确；

对于③，⊥，m⊥，可得直线可能与平面平行或者直线在平面内，由于，所以，故正确；

对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.

2．【答案】

【解析】取AD的中点E，连接ME．NE，根据中位线的性质可知AB与CD的夹角即为ME与NE的夹角，从而利用余弦定理求出夹角即可.

【详解】

如图，取AD的中点E，连接ME．NE，

则，

且AB与CD的夹角即为ME与NE的夹角，

根据余弦定理可得，，

又异面直线所成角的范围为：，

所以直线AB与CD所成角即为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查异面直线所成角，通常利用中位线或者平行四边形的性质构造所求角，注意异面直线所成角的范围，属中档题.

3．【答案】

【解析】通过补图：补一个完全相同的直三棱柱使它们底面重合，构成一个新的直三棱柱将异面直线平移求解.

【详解】

补一个与直三棱柱ABC-A1B1C1完全相同的直三棱柱使它们底面重合，形成一个新的直三棱柱，如图所示：

∥，且，所以四边形是平行四边形，∥，

所以异面直线BA1与AC1所成角就是直线与AC1所成角，

由题∠BAC＝90°，设AB＝AC＝AA1=1，则，，，

在中，由余弦定理：

所以，则直线与AC1所成角，

所以异面直线BA1与AC1所成角.

故答案为：

【点睛】

此题考查求异面直线的夹角，常规解法通过平移转化成解三角形问题，在几何体中适当使用补图可以更加直观，简化运算.

4．【答案】①②③④

【解析】根据空间中直线与直线的位置关系可逐项判断，得出结果.

【详解】

①两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故①错误，

②若，则与平行或重合或是两个点，故②错误．

③因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故③错误．

④两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故④错误．故假命题是①②③④，

故答案为①②③④

【点睛】

本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟记线线位置关系即可，属于常考题型.

5．【答案】

【解析】直角三角形中,,,平面,，交于,,此时该三角板的斜边与桌面所成的角为,求出即可.

【详解】

如图,

直角三角形中,

,

,

平面,

,

交于,

,

此时该三角板的斜边与桌面所成的角为,

设,

则,

,

,

.

所以该三角板的斜边与桌面所成角为.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查空间立体几何中已知线面角求线面角；把实际问题转化为数学图形是求解本题的关键;属于中档题;考查学生理论联系实际的能力.

6．【答案】③

【解析】由线线．线面．面面的位置关系及性质定理．判定定理逐个判断即可.

【详解】

①若与为异面直线，，，则与平行或相交，故①是假命题；②若，，，则与是平行直线或异面直线，故②是假命题；③由，，，可得且，即.故③是真命题.

故答案为③

【点睛】

本题主要考查线线．线面．面面的位置关系的判断和辨析，属基础题.

7．【答案】②③④

【解析】设在平面上的射影为，则由题意知，点在直线的垂线上，要使，则，因此只需考虑其临界情况，然后求出的取值范围，进一步确定其可能的取值．

【详解】

如图，设在平面上的射影为，

则由题意知，点在直线的垂线上，

要使，则，因此只需考虑其临界情况，

即当时，点与点关于直线对称，

，

又，是以为底角的等腰三角形，

，．

因此当时，有，

的取值可能为，，．

故答案为：②③④．

【点睛】

本题考查空间中点，直线，面位置关系的判定，考查空间想象能力和运算求解能力，同时考查极限思想的应用，属于难题．

8．【答案】

【解析】取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH所成角的正切值为，推出，然后求解即可．

【详解】

解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，

所以ON＝GH＝AB＝1，

因为N是FG的中点，所以NGFGAD2＝1，

所以在Rt△ONG中，OG

MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得

，则MO．

则点M到平面EFGH的距离为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线与平面的所成角的求法，点到平面的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．

9．【答案】点

【解析】利用质点运动的周期性，即可得到结果.

【详解】

根据题意可得质点的运动路线为：

不难发现周期为30，而 ，

故经过2019次运动后,质点到达顶点位置是

【点睛】

本题以质点在几何体上运动为背景，考查正方体的性质和距离的计算，同时考查了归纳推理的能力．空间想象能力．异面直线的定义等相关知识，属于中档题．

10．【答案】90

【解析】通过作BC的中点，将AC与BD进行平移；在三角形中，根据余弦定理可求得夹角.

【详解】

取线段BC的中点为M，连接PM．MR，作图如下：

在中，因为M．R分别为BC．CD中点，

所以：MR//BD，同理可得：MP//AC，

故为异面直线AC与BD的夹角或其补角.

在中，，

，又，

故，

又异面直线夹角的范围为：，

故

故答案为：90.

【点睛】

本题考查异面直线夹角的求解，一般步骤是：平移，使得两条直线相交，找到异面直线的夹角，在三角形中利用余弦定理求解.

11．【答案】1

【解析】四个选项均可用立体几何中的公理及公理的推论进行判别.

【详解】

对①：根据立体几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.显然，①中的直线AB在平面内，故①不正确；

对②：根据立体几何公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然，如果两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，故②正确；

对③：三条平行直线，可以共面，也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面，故③不正确；

对④：根据立体几何公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.显然，任意三点，不一定确定一个平面.故④不正确；

综上所述，只有②正确.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查立体几何中点．线．面位置关系中的三个公理，属同步基础知识考查和辨析.

12．【答案】

【解析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案．

【详解】

解：如图， 三棱锥是正三棱锥，

在底面上的投影为的中心，连接，，则即为侧棱与底面所成的角，

三棱锥为正三棱锥，底面边长为，

高，则底面三角形一边上的高，

，

．

侧棱与底面所成角的大小为．

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题．

13．【答案】

【解析】作出异面直线所成的角，然后解三角形得角．

【详解】

如图，取中点，连接，∵是中点，∴，从而有，

∴或其补角是异面直线与所成的角，

在长方体中，易求得，，，

∴，

∴，

∴异面直线与所成的角是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角，然后通过解三角形求得此角，注意异面直线所成的角的范围是或写成．

14．【答案】相交．平行或异面

【解析】在正方体中，分别找出满足条件．是异面直线，．也是异面直线的直线，借助正方体的几何特征即可得出答案.

【详解】

解：在正方体中，令直线为，直线为，直线为,满足直线．是异面直线，．也是异面直线，此时直线．平行；

令直线为，直线为，直线为,满足直线．是异面直线，．也是异面直线，此时直线．相交；

令直线为，直线为，直线为,满足直线．是异面直线，．也是异面直线，此时直线．异面；

故直线．可能平行，可能相交，可能异面，

故答案为：相交．平行或异面.

【点睛】

本题考查了空间直线的位置关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.

15．【答案】

【解析】作出图形，计算出四面体的体积，并计算出的面积，然后利用等体积法计算出点到平面的距离.

【详解】

如下图所示：

三棱锥的体积为.

在中，由勾股定理得，同理可得，

取的中点，连接，则，由勾股定理得.

所以，的面积为.

设点到平面的距离为，则，解的.

因此，点到平面的距离为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法．空间向量法，考查计算能力，属于中等题.