高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理当堂达标检测题

【优质】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-2优选练习

一．填空题

1．为边长为的正三角形所在平面外一点且，则到的距离为_____.

2．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值______________.

3．如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若正方形的面积为2，则线段的最大值为______.

4．两个平面将空间分成___________个部分.

5．如图，在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为______.

6．下列结论中，正确的序号是_____．

①如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行；

②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行；

③如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行；

④如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

7．若异面直线，所成的角为，则过空间上任一点P可做不同的直线与，所成的角都是，可做直线有______条.

8．已知正方体的棱长为2，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是__________.

9．若有平面与，，，，，则下列命题中真命题的序号有________.（1）过点且垂直于的直线平行于；（2）过点且垂直于的平面垂直于；（3）过点且垂直于的直线在内；（4）过点且垂直于的直线在内.

10．在棱长为1的正方体中，点分别为线段．的中点，则点到平面的距离为______.

11．一个透明密闭的立方体容器，恰好盛有该容器一半容积的水任意转动这一立方体，则水面在容器中的形状可能是________.（从正方形，三角形，菱形，矩形，等腰梯形，正六边形，正五边形中选取正确的都填上）

12．棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．

13．正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为    ____   ．

14．在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，则过点，，的平面与底面所成的锐二面角的余弦值为________．

15．如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的大小是_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由条件可得是等边三角形，然后可算出答案.

详解：因为，所以是等边三角形

所以到的距离为

故答案为：

【点睛】

本题实质上考查的是平面几何的知识，较简单.

2．【答案】

【解析】如图，设AB,的中点分别为E,F,连接,证明为直线与所成角或补角，再利用余弦定理求解.

详解：如图，设AB,的中点分别为E,F,连接.

由题得,

则为直线与所成角或补角.

因为棱长为1，则，

由余弦定理得，

所以直线与所成角的余弦值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力．运算能力和推理论证能力，属于基础题．

3．【答案】（写成也给分）

【解析】由条件可知正方形的边长为，且设，并表示直角三角形的直角边长， ，，再利用，转化为三角函数求最值.

【详解】

正方形的面积为2，则边长为，

设，则 ，

则，

则

，，

当时，取得最大值.

故答案为：（写成也给分）

4．【答案】3或4

【解析】分两个平面平行．两个平面相交两种情况讨论即可得结果.

【详解】

两个平面平行时，将空间分成3部分；

两个平面相交时, 将空间分成4部分，

所以两个平面将空间分成3或4 部分，故答案为3或4.

【点睛】

本题主要考查平面的性质，意在考查空间想象能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】把平移到，找出异面直线所成角，结合余弦定理可求结果.

详解：在正四棱柱中，易知，

所以或其补角为与所成角，

在中，，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查异面直线所成角，平移法是常用方法，结合三角形中余弦定理是解题的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

6．【答案】②③

【解析】①中,两个平面平行,故两个平面内的直线没有公共点,可以平行或者异面; ②中,两个平面平行,则两个平面没有任何公共点,则一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点; ③中,一个平面内的锐角由有公共顶点的射线组成,可视为两条相交直线分别平行于另一个平面,由面面平行的判定定理可知正确; ④中, 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交.

详解：对于①, 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线可以平行或异面,错误;

对于②, 如果两个平面平行，根据面面平行的性质定理,则其中一个平面内的直线必与另一平面平行,正确;

对于③,如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，而一个角的两边可以看做两条相交直线,根据面面平行的判定定理,那么这两个平面平行,正确;

对于④,如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交,错误;

故答案为: ②③

【点睛】

本题考查命题的真假判断,考查立体几何中空间点．线．面的位置关系,以及学生的空间想象能力,熟记公式和定理是解题的关键.

7．【答案】3

【解析】将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，当时，有1条直线，当时，有2条直线满足，得到答案.

详解：将异面直线，平移过点，此时确定一个平面，

当时，有1条直线满足所成的角为.

当时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为.

故共有3条直线满足条件.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.

8．【答案】

【解析】根据正方体的性质，结合线面角的定义，判断出平面的位置情况，最后根据正投影的定义．菱形的面积公式进行求解即可.

详解：正方体中所有的棱是三组平行的棱，如图所示：

图中的正三角形所在的平面或者与该平面平行的平面为平面，满足与正方体每条棱所在直线所成的角相等，

正三角形是平面截正方体所形成三角形截面中，截面面积最大者，正方体的棱长为2，

所以正三角形的边长为：，正方体中，

三个面在平面的内的正投影是三个全等的菱形，如下图所示：

可以看成两个边长为的等边三角形，

所以正方体在平面内的正投影面积是：

.

故答案为；

【点睛】

本题考查了直线与平面所成的角的定义，考查了空间想象能力和数学运算能力.

9．【答案】（1）（2）（3）

【解析】由线面平行的判定定理判断（1），由面面垂直的判定定理判断（2），由面面垂直的性质定理判断（3），由线线的位置关系判断（4）．

详解：（1）过点且垂直于的直线为，设在平面内与交线垂直的直线为，因为，所以，所以，又，所以，所以，而，所以，（1）正确；

（2）过点且垂直于的平面为，设，则，又，所以，所以，（2）正确；

（3）过点且垂直于的直线为，在平面内过作直线，因为，所以，又，且都过点，所以重合，所以．（3）正确；

（4）（2）中平面内过点的所有直线都与垂直，这些直线中只有一条在平面内，其余直线都不在内，（4）错误．

故答案为：（1）（2）（3）．

【点睛】

本题考查空间线线垂直．线面垂直．面面垂直关系的判定，掌握面面垂直的判定定理与性质定理．线面垂直的判定定理与性质定理是解题基础．

10．【答案】

【解析】先求出，再利用求出点A到平面EFC的距离得解.

详解：

由题得

所以,

所以.

设点到平面的距离为，则,

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11．【答案】正方形．菱形．矩形．正六边形

【解析】根据已知，任意转动这个正方体，水面总是过正方体的中心，分别讨论水面过一条棱，过对角线上的两个顶点，过六条棱的中点，水面与底面平行等情况，即可得到答案.

详解：∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心.故：

正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图；

过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图；

过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图；

过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图；

至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，

故答案为：正方形．菱形．矩形．正六边形

【点睛】

本题考查的知识点是棱柱的结构特征，本题是一道以截面的概念．性质和截面图形的作法等基础知识为依托，反映现实生活的一道综合能力题.解答本题须具备较强的空间想图．识图．作图能力.属于中档题.

12．【答案】

【解析】取中点，连结．，可得是二面角的平面角，再由余弦定理求解．

详解：如图，三棱锥的棱长都相等，取中点，连结．，

三棱锥各棱长均相等，即．均为等边三角形，

，，

是二面角的平面角，

设棱长，则，

．

即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查二面角的平面角的求法，熟练掌握正四面体的性质．二面角的定义．余弦定理的应用是解答此题的关键，属于中档题．

13．【答案】

【解析】连接,则为与平面所成角，在中，

考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.

点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

14．【答案】.

【解析】设正方体上．下底面的中心分别为，，连接，与交于点，连接，与交于点，连接，得到为平面与底面所成二面角的平面角，即可求解．

详解：过，，的平面与，，分别交于点，，，且，，分别为所在棱的中点，如图所示，

则平面与底面所成角的余弦值，即所求角的余弦值，

设正方体上．下底面的中心分别为，，

连接，与交于点，连接，与交于点，

连接，则为平面与底面所成二面角的平面角，

连接，易知，所以，

故，

故所求锐二面角的余弦值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二面角的余弦值，考查考生的空间想象能力．推理论证能力，着重考查了二面角的求解与垂直问题．

15．【答案】（或）

【解析】

【分析】

连接．，即可得出为异面直线与所成角，根据正方体的性质即可求解.

【详解】

如图，连接．，可得为异面直线与所成角，

由正方体的性质可得为等边三角形，

所以或.

故答案为：（或）