高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课时作业

【特供】2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-2优选练习

一．填空题

1．已知为锐角，，则__________.

2．已知，则________.

3．若，则____________.

4．已知，且 ，则________.

5．的值为________.

6．已知则________，________．

7．已知，且，则_____，_____.

8．若，则____________.

9．若是角终边上一点，则___________；______________.

10．已知锐角满足，则______

11．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形，勾（短直角边）长5步，股（长直角边）长12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长为多少？在如图所示中，求得正方形的边长后，可求得__________．

12．若，，则________.

13．已知，则_______．

14．若，且，则________.

15．已知α为第二象限角，且，则________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意，先求出，再根据组合角，利用两角和余弦公式，计算即可求解.

详解：由题意，为锐角，∴，则

故

.

故答案为：

【点睛】

本题考查两角和余弦公式，考查转化与化归思想，属于基础题.

2．【答案】-3.

【解析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程．

详解：因为，所以．

【点睛】

本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．

3．【答案】

【解析】首先展开，再代入即可得到的值.

详解：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查正切的两角和公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

4．【答案】

【解析】先判断角的范围，再用两角和的正弦公式即可求解.

详解：解：，且，

所以，

，

，

故答案为：.

【点睛】

考查同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式；基础题.

5．【答案】.

【解析】根据，展开化简得到答案.

详解：，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.

6．【答案】     

【解析】将条件变形，然后两式平方相加即可得到，再通过条件推出所以在范围，即可得.

详解：解：由已知得，

将上述两式两边同时平方后相加可得

，

整理得，

即，

又由已知，

则，

又，，

则，

.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数的平方关系，注意求角一定要确定角所在范围，是中档题.

7．【答案】，

【解析】根据，可以求得，从而有；

.

考点：和差角公式，诱导公式.

8．【答案】

【解析】利用两角差的正切公式计算可得；

详解：解：因为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题.

9．【答案】     

【解析】根据正切函数的定义计算，然后再由两角和的正切公式计算．

详解：由已知，

．

故答案为：；．

【点睛】

本题考查正切函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．

10．【答案】

【解析】由化简求出的值，再由同角三角函数的关系求.

详解：解：由得，，解得 ，

所以，即，

因为，所以，

因为为锐角，所以，

故答案为：

【点睛】

此题考查了两角差的正切公式，同角三角函数间的关系，属于基础题.

11．【答案】

【解析】首先设正方形的边长，利用相似比求出，再求出和，利用两角差正切公式计算即可.

详解：设正方形的边长，由题知：

，解得.

所以，.

.

故答案为：

【点睛】

本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.

12．【答案】

【解析】由于，由已知求得，诱导公式可得，，代入计算即可得到答案．

详解：因为，所以.

所以.

又因为，

，

所以

.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数值的求法，利用配凑法表示出，涉及诱导公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系等知识点，属于中档题．

13．【答案】

【解析】先由，求出的值，而

，从而可得答案.

详解：解：因为，所以，

因为所以，

所以

，

故答案为：

【点睛】

此题考查三角函数恒等变换公式，同角三角函数间的关系，解题的关键是将找出与的关系，属于中档题.

14．【答案】

【解析】先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程结合，解出后可求的值．

详解：由可以得到，

故，

也就是，

整理得到，故或．

又，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异．函数名的差异．结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.

15．【答案】

【解析】由同角三角函数的基本关系求出，根据两角和的正切公式计算即可.

详解：因为α为第二象限角，且，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系，和角的正切公式，特殊角的三角函数等基础知识，考查运算求解能力，应用意识，属于容易题.