北师大版 (2019)必修 第二册1.1 构成空间几何体的基本元素课时训练

【优选】1.1 构成空间几何体的基本元素-1练习

一．填空题

1．在平行六面体中，已知对角线.若空间一点使，则______.

2．正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，则它的侧面积为________．

3．将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是______．

4．在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有________个．

5．若圆台的母线与高的夹角为，且上．下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.

6．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_____________

7．已知四面体中,,,,为其外接球球心,与,,所成的角分别为,,.有下列结论：

①该四面体的外接球的表面积为,

②该四面体的体积为10,

③

④

其中所有正确结论的编号为___________

8．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，则此截面的面积为______.

9．正四棱台上．下底面的边长分别为，，侧棱长为，则此棱台的侧面积为________．

10．给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点的连线；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．

其中说法正确的是______．

11．在棱长为3的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．

12．一圆锥底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为______.

13．半径为R的两个球,其中一个球的球心在另一个球的球面上,则两球的交线长为_____.

14．棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为____________ .

15．已知某圆锥体的底面半径为，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为的扇形，则该圆锥体的母线长是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】28

【解析】详解：由平行六面体的结构易知，且，则四边形为平行四边形，

设，则,，

由于，故是以为直角的直角三角形，

故，

在中，为边的中点，在和中分别应用余弦定理可得：

，，

据此可得：.

2．【答案】

【解析】设底面边长为，求出斜高和底面三角形的高，从而得底面积．侧面积，得出结论．

详解：如图，正三棱锥，两两垂直，设为中点，则，，

又，所以，，，

所以侧＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查棱锥的侧面积，掌握正棱锥的性质是解题关键．

3．【答案】

【解析】函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，由此能求出结果．

【详解】

解：函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，

将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，

将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是：

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质．球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

4．【答案】2

【解析】根据斜棱柱的概念直接判断即可.

详解：解：按侧棱是否与底面垂直分为斜棱柱和直棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.直棱柱的底面的一条边最多可以与另一条边平行，当直棱柱变形为斜棱柱过程中，如果所有棱运动形成的平面与这两条边垂直时，这两条边所在的侧面是矩形.因此，斜棱柱的底面的一条边最多可以与另一条边平行，当它们与侧棱垂直时，斜棱柱的侧面最多有2个矩形.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查斜棱柱的概念，属于概念辨析，是基础题.

5．【答案】

【解析】详解：本题考查圆台的几何特征.

设上．下底面半径分别为，，圆台高为，根据轴截面可知，即，所以.

6．【答案】

【解析】详解：

法一：如图因为AB∥GH，CD∥FH，所以GH和FH所成角即为AB与CD所成的角，

又因为△GHF为等边三角形，故GH和FH所成角为，即与所成的角为．

法二：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图

可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成角，

设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得，

由余弦定理可得，

故，

因为异面直线所成的角是锐角或直角，

所以与所成的角为．

7．【答案】①④

【解析】把四面体补成长方体,结合长方体的性质可求.

详解：解:依题意,把四面体补成长方体,如图,设长方体的长．宽．高分别为,则

,解得；

①由于四面体的外接球就是长方体的外接球,

所以球的半径

可得该四面体的外接球的表面积为,故①正确；

②该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积,

则故②错误；

③四面体的外接球的球心是长方体体对角线的中点,所以分别等同于长方体的体对角线与所成的角,则 ,

即,故③错误；

④,,是边长为,,的三角形的三个内角,

故,故④正确

结合选项可知正确结论的编号为①④.

故答案为：①④

【点睛】

本题主要考查四面体的性质,把四面体补成长方体,使其位置关系或者度量关系更加清晰,是求解这类问题的关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养．

8．【答案】

【解析】经分析可知，截面是半圆面，半径为2，由圆的面积公式可得答案.

【详解】

过半球底面的中心作一个与底面成90°的截面，截面是半圆面，半径为2，

所以其面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了球的结构特征，考查了圆的面积公式，属于基础题.

9．【答案】

【解析】作出正四棱台，则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，过作交于点，先求出斜高，再求出等腰梯形的面积，可得出答案.

详解：设正四棱台,则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形.如图

在侧面中，过作交于点，

因为为等腰梯形，所以,

所以

所以侧面积为：

故答案为：

【点睛】

本题考查求正四棱台的侧面积，考查正四棱台的基本性质，属于基础题.

10．【答案】①③④

【解析】根据球的定义和特点去分析各个选项.

【详解】

根据球的定义直接判断①正确；②错误：连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆：可以是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确.

【点睛】

本题考查球的相关概念，难度较易.判断球的相关概念时，如果不是很清楚，可参考圆的相关概念，两者作比较.

11．【答案】

【解析】由题可知，可得投影为五边形，利用三角形相似性质得到，，进而求得，，则可得.

详解：解：直线分别与直线，交于，两点，

连接，，分别与棱，交于，两点，连接，，

得到截面五边形，

向平面作投影，得到五边形，

由点，分别是棱，的中点，

则，

所以在中，，

由，则，即：，

而，可得，

同理，

则，，

则.

故答案为：．

【点睛】

本题考查正方体截面投影面积的求法，以及利用三角形相似求出线段长，考查数形结合思想，属于中档题．

12．【答案】

【解析】根据圆的周长公式可得扇形的弧长，根据扇形的面积公式可得结果.

【详解】

因为圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为，

故将此圆锥沿一条母线展开，所得扇形的面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面展开图，考查了扇形的面积公式，属于基础题.

13．【答案】

【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,容易求得的长为.从而求得其周长即可.

【详解】

将两球的相交情形,

转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示:

由题意得,

，

故.

所以两球交线所在圆面的半径为,

所以所求的交线长为.

故答案为:

【点睛】

本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力;把空间立体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题.

14．【答案】

【解析】正方体的内切球半径为3.正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，也就是说，棱长为x的正四面体的外接球半径为3.设正四面体为P－ABC，过点作PO垂直于平面ABC，垂足为O，则O为三角形ABC的中心，从而，正四面体的高为.

此时有，解得.

故答案为：．

15．【答案】9

【解析】设圆锥体的母线长为R，根据底面圆周长等于展开图扇形的弧长，列方程求出R的值．

【详解】

解：某圆锥体的底面半径为，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心为的扇形，设圆锥体的母线长为R，则，解得，

圆锥体的母线长为9.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查了圆锥体的底面圆周长与侧面展开图的应用问题，是基础题．