北师大版高中数学必修第二册第2章6-1第4课时正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用作业含答案

第4课时　正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用

课后训练巩固提升

1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,下午2时两船之间的距离是(　　).

A.35 n mile B.35 n mile

C.35 n mile D.70 n mile

解析:由题可知∠C=120°,AC=50,BC=30,

(第1题答图)

由余弦定理得AB2=302+502-2×50×30×=4900,∴AB=70.

答案:D

2.如图,测量河对岸的塔的高度AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,并在C处测得塔顶A的仰角为60°,则塔AB的高度为(　　).

(第2题)

A.15 m B.15 m

C.15(+1)m D.15 m

解析:在△BCD中,由正弦定理得BC==15(m).

在Rt△ABC中,AB=BCtan60°=15(m).

故选D.

答案:D

3.已知某观赏渔场有三个观赏亭,观赏亭A位于观赏亭C的正北方向且二者之间的水平距离为300 m,观赏亭B位于观赏亭C的东偏南30°方向且二者之间的水平距离为200 m,则观赏亭A与观赏亭B之间的水平距离为(　　).

A.100 m B.100m

C.400 m D.300 m

解析:如答图,依题意可得,AC=300m,BC=200m,∠ACB=120°,设AB=xm,

(第3题答图)

由余弦定理可得x2=2002+3002-2×200×300×cos120°=190000,

解得x=100,

所以AB=100m.

答案:B

4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°方向,且与它相距8 n mile处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,此船的航速是(　　).

A.8()n mile/h B.8()n mile/h

C.16()n mile/h D.16()n mile/h

解析:由题意得,在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.

由正弦定理得,即,得AB=8(),

因此此船的航速为=16()(nmile/h).

答案:D

5.一角槽的示意图如图所示,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,则∠ACB=　　　　　. 

(第5题)

解析:在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==-.

因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.

答案:

6.为了测量正在海面上匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离为1 km的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该航船在A处,此时测得∠ADC=30°,3 min后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为　　　　　km/min. 

(第6题)

解析:在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,

∴∠CBD=45°,∴BD=CD=1,BC=.

在△ACD中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,∴∠CAD=45°.

由正弦定理得AC=.

在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=+2-2×,

∴AB=,故船速为km/min.

答案:

7.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行20()n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行40n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?

(第7题)

解:在△ABC中,AB=20(),

BC=40,∠ABC=180°-75°+15°=120°.

由余弦定理可得

AC=

=

=40.

由正弦定理,

得sin∠BAC=.

∴∠BAC=45°,75°-∠BAC=30°.

答:此船应沿北偏东30°方向航行,需要航行40nmile.