北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式同步测试题

2.4　积化和差与和差化积公式

课后训练巩固提升

1.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是(　　).

A.等边三角形  B.等腰三角形

C.不等边三角形 D.直角三角形

解析:∵sinAsinB=cos2,

∴[cos(A-B)-cos(A+B)]=(cosC+cos0)=(1+cosC).

又A+B=π-C,∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC,即cos(A-B)+cosC=1+cosC,

∴cos(A-B)=1.又-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B,故△ABC为等腰三角形.

答案:B

2.sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　).

A.- B.- 

C. D.

解析:由已知得

2sincos·,

∵0<<π,-,

∴sin>0.∴tan.

∴.∴α-β=.

答案:D

3.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β等于(　　).

A.-m B.m 

C.-4m D.4m

解析:cos2α-cos2β=(cos2α+cos0)-(cos2β+cos0)

=(1+cos2α)-(1+cos2β)==-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)·sin(β-α)=m.

答案:B

4.在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值范围是(　　).

A.[-1,1] B. 

C. D.

解析:cosAsinC=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(180°-B)-sin(A-C)]=sin(A-C).

∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cosAsinC∈.

答案:C

5.函数y=coscos的最大值是　　　　　. 

解析:y=coscos

=

=cos4x-,

∴函数y的最大值为.

答案:

6.=　　　　　. 

解析:原式==tan30°=.

答案:

7.已知函数f(x)=cos x·cos.

(1)求f的值;

(2)求使f(x)<成立的x的取值集合.

解:f(x)=cosx·cos=cos.

(1)fcos=-=-.

(2)∵由f(x)<,得cos,

∴cos<0,

于是2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z,

解得kπ+<x<kπ+,k∈Z,

故使f(x)<成立的x的取值集合为(k∈Z).

8.已知向量a=(sin B,1-cos B)与向量b=(2,0)的夹角为,其中A,B,C是△ABC的内角.

(1)求B的大小;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

解:(1)由题意,得|a|=,|b|=2,a·b=2sinB.

由夹角公式,得cos,

整理得1-cosB-2sin2B=0,即2cos2B-cosB-1=0.解得cosB=1(舍去)或cosB=-.

又∵0<B<π,∴B=.

(2)∵A+B+C=π,∴A+C=.

∴-<A-C<.∴-.

∴sinA+sinC=2sincos=2sincos=cos.

∴sinA+sinC的取值范围是.