北师大版 (2019)必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识同步练习题

【精挑】5.2 余弦函数的图象与性质再认识-2随堂练习

一．填空题

1．函数的最小正周期为4，则____________．

2．函数的定义域是_______________．

3．关于的函数有以下命题：（1）对任意的都是非奇非偶函数；（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；（3）存在，使是奇函数；（4）对任意的都不是偶函数，其中一个假命题的序号是_____，因为当_____时，该命题的结论不成立.

4．若函数的值域为，则x的取值范围是__________.

5．函数的值域为_____________．

6．设，则________.

7．已知函数，若为偶函数，则正实数的最小值为_________.

8．

函数在上零点的个数为______.

9．

已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，都有，则实数m的取值范围是______.

10．

已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为，则的值是______.

11．函数，且的值域是________________．

12．如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.如果在北京地区（纬度数约为北纬）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）

13．函数的单调递增区间为________

14．，使成立的的取值范围是_____________.

15．

已知函数，若函数恰有3个零点，分别为，则的值为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】直接根据三角函数周期公式计算得到答案.

详解：，故，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了正切函数周期，属于简单题.

2．【答案】

【解析】由 解不等式可得函数的定义域．

详解：解：由，，可解得，，

函数的定义域为，

故答案为：

【点睛】

本题考查正切函数的定义域，属于基础题．

3．【答案】（1）    （答案不唯一，见解析） 

【解析】由题意确定φ的值，使得函数是奇函数，或者是偶函数，然后判断选项的真假，得到答案即可.

详解：当时，是奇函数，

当时，是奇函数

当时，，

或当时，，都是偶函数，

因为无论为何值都不能使恒等于零，所以不能既是奇函数又是偶函数.

所以（2）和（3）都是正确的，（1）和（4）都是假命题.

故答案为：（1）；或者（1）；,或者（4）；（任何一组答案都可以）

【点睛】

本题主要考查了正弦．余弦函数的奇偶性，诱导公式，命题的真假判断，掌握三角函数的基本性质，是解好本题的关键，属于中档题.

4．【答案】

【解析】由反正切的值域可得，进而解分式不等式即可得解.

详解：由函数的值域为，可得：，

所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了反三角函数的值域问题，理解反三角函数的定义是解题的关键，属于基础题.

5．【答案】

【解析】根据正切型函数的单调性求解即可.

详解：易得为减函数，故当时取最大值；当时取最小值.故值域为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正切型函数的值域求解，属于基础题.

6．【答案】

【解析】直接利用两角和的正切公式求出的值.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和的正切公式，属于基础题.

7．【答案】

【解析】由得，令即可得答案.

详解：由得，

令，得，又，

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题.

8．【答案】5

【解析】

由题意知，函数在上零点的个数等价于与的图象在上的交点个数，作图如下：

由图可知，函数在上零点的个数为5个.

故答案为：5

9．【答案】

【解析】

当时，；

当时，，，

当时，，，

当时，，，

则函数的图象如图所示：

当时，，解得，

若对任意的，都有，

则，

故答案为：.

10．【答案】

【解析】

根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；

由题意，令，可得 ，则，

所以，，即；

当，，；

当，，，

如图所示，由勾股定理得，

即，即，

解得.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】根据正切函数的单调性求值域即可.

详解：函数在，值域为，在也单调递增，值域为，

综上函数，且的值域是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查正切函数的值域，属于简单题.

12．【答案】

【解析】根据题意列出不等式，再根据不等式恒成立，转化为对应函数最值问题，结合范围确定最值，即得结果..

详解：设两楼的距离为，

因为

则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足对恒成立,因此

，从而两楼的距离不应小于

故答案为：

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题．正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中档题.

13．【答案】，

【解析】由正切函数的单调性的性质即可得到结论．

详解：解：由，，

解得，，

故函数的单调增区间为，，

故答案为：，，

【点睛】

本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．

14．【答案】

【解析】由可得或，求出不等式在区间上的解，然后利用正切函数的奇偶性得出不等式在区间的解，由此可得出答案.

【详解】

由可得或，

由于正切函数在区间上为增函数，

由，可得，

又因为函数为奇函数，则不等式在区间的解为.

因此，所求的范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正切不等式的求解，解题时要充分利用正切函数的单调性和奇偶性，考查运算求解能力，属于中等题.

15．【答案】

【解析】

令，则

函数恰有3零点，等价于的图像与直线恰有3个交点，即与直线恰有3个交点，设为，如图

函数，的图像取得最值有2个t值，分别为和，由正弦函数图像的对称性可得，即

，即，

故 ，
故答案为：．