高中第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例同步达标检测题

【优质】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-1随堂练习

一．填空题

1．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为________.

2．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______

3．已知向量，，，若且，则的最小值是______．

4．如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2OA＝2，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时，cos∠APB＝__________.

5．
若点O在内，且满足，设为的面积， 为的面积，则＝________.

6．设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．

7．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，，，则的值为______．

8．已知和分别为的外心和重心，且，若，则面积的最大值为___________

9．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.

10．
若·+= 0，则ΔABC的形状为_____________________

11．平面向量？？，满足，，，则对任意，的最大值为___________.

12．设是按先后顺序排列的一列向量，若.且，则其中模最小的一个向量的序号__________

13．若点是所在平面内一点，且满足，则与的面积之比值为_______

14．线段AB的端点分别在x，y的正半轴上移动，如图，∠ABC＝30°，＝0，，若点D为AB中点，则的取值范围是________．

15．已知向量垂直，且，若，则的最小值为_________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.

详解：设中点为，则 ，

所以，

∴，

∴，

由得角为锐角，

故，

当且仅当，时最小，又在递减，故此时最大.

此时，恰有，即为直角三角形，

∴.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

2．【答案】

【解析】分析：根据题意令，再排除与同向时的情况即可得解.

详解：由，得.

当与同向时，，则.

故的取值范围为且.

故答案为：

3．【答案】

【解析】，

，

，
故可设

则，

，

,

,

,

即点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

，

，

即求圆M上动点到点的距离的平方的最小值减1即可，

设圆心M到的距离为，

则，

则的最小值为

，

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：以方向为轴，垂直方向为轴，建立平面直角坐标系，设点，写出坐标表达式，并求得最大值，确定坐标，结合向量夹角公式即可求解．

详解：以方向为轴，垂直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

因为，OB＝2OA＝2，所以，

设，圆方程为

则，

所以

因为，当时，

此时，且，

所以，则

故答案为：

5．【答案】

【解析】由，可得：

延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=4OB，OF=3OC，

如图所示：

∵2+3+4=，

∴，

即O是△DEF的重心，

故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，

不妨令它们的面积均为1，

则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，

故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为： ： ： =3：2：4，

.

故答案为： ．

点睛：本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，注意重要结论：点O在内，且满足， 则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为： .

6．【答案】3

【解析】分析：由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案

详解：解：因为，

所以，

令，则，

所以，所以为上靠近的三等分点，

因为，所以∥,

所以，

所以，

故答案为：3

7．【答案】

【解析】设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，用坐标表示，即可求出的值，进而得到答案。

【详解】

设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，，，，，则，，，

即，

则即，解得，，则.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题。

8．【答案】

【解析】分析：根据重心和外心满足的几何性质，将进行转化，找到点满足的等量关系，然后求三角形的面积的最值．

详解：因为，是三角形的外心和重心，设为的中点，．

①，

，

将上式代入①式得，

，所以，点在以的中点为圆心，半径为的圆上．

故当时，面积的最大为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

9．【答案】7

【解析】分析：以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出，然后可得答案.

详解：

以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：

设，

则

，当时取得最小值7

故答案为：7

10．【答案】直角三角形

【解析】

【分析】

根据向量三角形法则化成两向量数量积为零，即可判断三角形形状.

【详解】

因为·+= 0，所以,即ΔABC为直角三角形.

【点睛】

本题考查向量垂直应用，考查基本求解能力.

11．【答案】

【解析】分析：建立平面直角坐标系，可得点的轨迹方程为，然后化简所求式子，转化为两个圆的点之间的最大值问题，简单判断即可.

详解：由，，可设

由，把坐标代入化简可得：

所以点点的轨迹方程为

又，

所以求的最大值即两个圆．上动点最大值，如图所示;

当过两圆的圆心时，有最大即

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键在于建系以及等价转化为两圆上动点的最值问题.

12．【答案】2018或2019

【解析】根据题意，设求出的表达式，计算何时取最小值即可．

【详解】

解：∵是按先后顺序排列的一列向量，，且，

，设，则

，

，

，

；

当，

即或时，向量的模最小．

故答案为：2018或2019.

【点睛】

本题考查了平面向量的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是中档题．

13．【答案】

【解析】点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3|＝0，根据向量的概念，运算求解32， ，根据△ABG和△ABC面积的关系，△ABM与△ABC面积之比，求出面积之比．

【详解】

如图G为BC的中点，

点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3|＝0，

3，2，

32，，∴，

又∵S△ABGS△ABC，

∴△ABM与△ABC面积之比：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解，注意几何图形中线段的关系．

14．【答案】

【解析】分析：设，用表示出点的坐标，结合向量运算表示出，进而可求范围.

详解：设，同理，

∴，

即，

，

∴，∴，

．

15．【答案】15

【解析】分析：作正方形，取上一点，设，取上一点，满足，则可得，即求长度.

详解：如图，作正方形，取上一点，设，，

则，

取上一点，满足，则，

则，

易得.

故答案为：15.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用几何图形解决向量问题，解题的关键是画出图形，将所求转化为.