北师大版 (2019)必修 第二册5.2 余弦函数的图象与性质再认识课时训练

【特供】5.2 余弦函数的图象与性质再认识-1优选练习

一．填空题

1．对于数列，若存在，使得，则删去，依此操作，直到所得到的数列没有相同项，将最后得到的数列称为原数列的“基数列”.若，则数列的“基数列”的项数为__________________．

2．给出以下四个结论：

①函数是偶函数；

②当时，函数的值域是；

③若扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为6cm；

④已知定义域为的函数，当且仅当时，成立.

⑤函数的最小正周期是

则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）

3．函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点．．，使得△是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则________.

4．已知函数，则______.

5．设为平面直角坐标系xOy中的点集，从中的任意一点P作x轴．y轴的垂线，垂足分别为M,N,记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x(),点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y().若是边长为1的正方形，给出下列三个结论:

①x(Q)的最大值为

②x(Q)+y(Q)的取值范围是

③x(Q)-y(Q)恒等于0.

其中所有正确结论的序号是_________

6．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是                  .

7．函数的最小正周期是，则______.

8．已知函数，则____________.

9．函数的单调递减区间是_______________.

10．函数,在区间上的最小值是__________

11．函数，的最小值为________.

12．函数的最小正周期为________

13．若方程在的解为，，则___________.

14．已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为A1，A2，A3，...，A2019，其图像与x轴的交点从左到右依次记为B1，B2，B3，...，B2019，则___________.

15．函数的所有零点之和为        ．

参考答案与试题解析

1．【答案】10

【解析】由题意可得,只需计算所有可能取值的个数即可.

【详解】

因为求的可能取值个数,由周期性,故只需考虑的情况即可.

此时.一共19个取值,故只需分析

,

又由,故,

,即不同的取值个数一共为个.即“基数列”分别为和共10项.

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查余弦函数的周期性.注意到随着的增大的值周期变化,故只需考虑一个周期内的情况.

2．【答案】②④

【解析】利用特殊值代入①中的解析式即可判断①；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断②；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断③；讨论sinx﹣cosx的符号去绝对值，即可判断④；利用周期性定义验证，即可判断⑤．

【详解】

解：当x与x时，代入①中的解析式所得函数值不相等，所以①错误；

当x∈[0，]时，2xx∈[，]，

由余弦函数图象可知函数f（x）＝2cos（2x）的值域是[﹣2，]；所以②正确；

因为若扇形的周长为15cm，圆心角为rad，设半径为r，

则15﹣2rr，解得r＝6，所以弧长为l＝ar＝3 cm，所以③错误；

当sinx﹣cosx≥0时，函数f（x）cosx，

2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0；

当sinx﹣cosx＜0时，函数f（x）sinx，

2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0，所以④正确．

记，，

，

，故也是函数的周期，故⑤错误，

综上所述，②④正确．

故答案为：②④．

【点睛】

本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，弧度制的定义计算．属于中档题．

3．【答案】

【解析】首先求函数与对称轴的交点，，根据为等腰直角三角形，且，此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，根据交点坐标表示底边长，再根据数形结合可知，最后表示求值.

【详解】

函数的对称轴是

，

解得，

，

为等腰直角三角形，且，

此等腰直角三角形斜边的高是2，底边长为4，

即，即，

，

而，

，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数性质的综合运用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的一个关键点是根据数形结合分析出，从而求得的通项公式.

4．【答案】

【解析】根据反函数定义,先求得的反函数,再代入求解即可.

【详解】

因为

即

令,则

化简可得,（），即

所以

【点睛】

本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.

5．【答案】①②③．

【解析】易得与正方形的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,再绕着原点旋转分析所有情况即可.

【详解】

如图由题易得与正方形的位置无关,故将正方形确定在原点,则只需考虑当正方形绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值.且

对①,,故①正确

对②, ,故②正确.

对③,因为,故,故③正确.

故答案为：①②③

【点睛】

本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型.

6．【答案】

【解析】先利用二倍角公式化简函数，再求函数的周期．

考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法

7．【答案】2

【解析】根据周期的计算公式，代入周期即可得到的值.

【详解】

因为，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.知道其中一个量即可求解另一个量.

8．【答案】

【解析】根据反函数定义求得,进而求得.

【详解】

则

故答案为:.

【点睛】

本题考查了正弦反三角函数,掌握反函数基本知识是解本题关键.

9．【答案】

【解析】由，令，即可得解.

【详解】

，

令，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了正切型函数的单调区间的求解，考查了整体代换的思想，属于基础题.

10．【答案】

【解析】根据得出的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.

【详解】

∵x∈[0,1],∴x∈[0,],

∴∈[],

∴sin∈[],

∴函数f(x)在区间上的最小值是,

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.

11．【答案】5

【解析】用三角函数的恒等变换化简f（x），结合基本不等式求出f（x）的最值即可.

【详解】

此时时取等，

但，所以，当时，有最小值为5，

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是综合性题目．

12．【答案】

【解析】利用二倍角的余弦函数以及函数的周期求解即可．

【详解】

函数f（x）＝4cos2x﹣sin2x＝cos2x + ，故函数的周期为：

故答案为：

【点睛】

本题考查二倍角的余弦公式，三角函数的周期的求法，考查计算能力．

13．【答案】

【解析】由已知可得，得到，则，结合已知得答案．

【详解】

解：由方程在的解为，，

得，

，

，

，

，

又，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．

14．【答案】-8072

【解析】由函数可得,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为,整理后即可得到结果

【详解】

由题可知,

为,为,为,,为；

为,为,为,,为

,

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数周期性,考查向量的坐标表示,考查数量积的坐标运算

15．【答案】8

【解析】设，则，原函数可化为，其中，因，故是奇函数，观察函数与在的图象可知，共有4个不同的交点，故在时有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即，从而.

考点：1.函数零点；2.正弦函数．反比例函数.