高中数学8 三角函数的简单应用习题

【精品】8 三角函数的简单应用-1优选练习

一．填空题

1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为__________．（实际面积-弧田面积）

2．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.

车辆驾驶人员血液洒精含量阈值

且如图所示的函数模型为.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据：)

3．高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形为等腰梯形，且，，为圆O的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O大小确定，OC最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O的半径与BC长度的比值为___________．

4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.

5．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，.点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，_______.

6．某教室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）变化近似地满足函数关系：

，，则该天教室的最大温差为__________℃．

7．已知是半径为，圆角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________.

8．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式，则函数关系式为________.

9．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．

10． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）

11．已知A船在灯塔C东偏北10°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A．B两船的距离为3 km，则B到C的距离为      _______km．

12．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1）

参考数据：，

13．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”．“无”．“无法判断”三者之一）

14．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________.

15．某港口水的深度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据：经长期观察，的曲线可以近似的看成函数的图象，

根据以上数据，可得函数的近似表达式为          .

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】扇形半径扇形面积等于，弧田面积圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算，得．∴，按照弧田面积经验公式，计算结果比实际少 平方米．故答案为：．

2．【答案】6

【解析】分析：利用散点图及所给函数模型，列出n≥2时的不等式，解出不等式即可得解.

详解：由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，

所以有，解得，解得.

因为，所以n的最小值为6.

故答案为：6

3．【答案】

【解析】分析：过点作于，交于点，过点作的垂线，垂足为，设，，进而得,，故当时，OC最长，进而得答案.

详解：过点作于，交于点，过点作的垂线，垂足为，

设，，

所以，

因为，所以，

所以，

所以

，

所以当时，即时，，

此时，

所以此时圆O的半径与BC长度的比值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的应用，考查数学建模思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，，进而建立三角函数的模型求解.

4．【答案】.

【解析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.

【详解】

设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，

则，所以矢长为，在中，，

，所以，

，

所以弧田的面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.

5．【答案】

【解析】在Rt中，，则AF=3tanx，列出面积=15-，对其求导得最值时的值.

【详解】

在Rt，  ，则AF=3tanx .，y===15- . . = 的根 ，因为.  ，所以cosx ， 使得 .所以y=在时取得最大值.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了由三角函数解决实际问题的最值问题，列出面积的方程是关键，属于中档题.

6．【答案】

【解析】因，故，故当时，取最大值；当时，取最小值；故最大温差是，应填答案.

7．【答案】

【解析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值.

【详解】

设

扇形的半径为,是扇形的接矩形

则

,所以

则

所以

因为,所以

所以当时, 取得最大值

故答案为:

【点睛】

本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.

8．【答案】

【解析】先阅读题意，再求出即可得解.

【详解】

解：水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，.

又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，

，.

顺时针旋转时，，

，

，.

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了对数据的处理能力，属中档题.

9．【答案】13

【解析】由图像可得最大值为30，最小值为10，从而可求出，的值，最高点和最低点的横坐标的差为半个周期，从而可求出 的值，再代入一个点的坐标可求出的值，从而可求出函数关系式，再把代入函数中可得结果.

详解：解：由图像可得，，，

∴，．

∵最低点坐标为，

∴，得，

于是，∴，取，

∴．

当时，．

故答案为：13

【点睛】

此题考查三角函数模型的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.

10．【答案】26

【解析】

由勾股定理，代入数据即可求得．

【详解】

解：∵，，

∵ 寸，

∴ 寸，

在中，∵，

∴ ，

∴ 寸，

∴ 圆柱底面的直径长是寸．

故答案为：26.

【点睛】

考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．

11．【答案】

【解析】

12．【答案】31.6

【解析】由题意画出简图，设，即可得．，利用即可得解.

详解：由题意画出简图，如图：

由题意可得，，，

所以，

，

设，则在中，，

在中，，

所以，解得，

所以该建筑的高度约为米.

故答案为：31.6.

【点睛】

本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.

13．【答案】无

【解析】可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可

【详解】

如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险

故答案为：无

【点睛】

本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题

14．【答案】

【解析】根据函数图像求出，再求出，将特殊点代入函数解析式求出，即可求得函数解析式.

详解：解析根据题图设，则，∴，∴.

将点作为“五点法”作图中的第一点，

∴，∴，

∴，.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，根据最值求出A，根据周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式，属于基础题.

15．【答案】，．

【解析】从表可以看出，当时，；时，，可知函数的最小正周期，由 得，；由时，得，即，所以函数的近似表达式为：，．

考点：三角函数模型的应用．

【方法点晴】本题主要考查了三角函数模型的建立与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础性试题，解答中认真审题．仔细作答是解答的关键．本题的解答中，根据图表中的信息，可确定函数的最小正周期，从而得到，由时，，确定，从而可得函数的解析式．